Wie finden Sie die Extrema für g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Antworten:

#g (x) # hat kein Maximum und ein globales und lokales Minimum in # x = -1 #

Erläuterung:

Beachten Sie, dass:

# (1) x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Also die Funktion

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

ist für jeden definiert #x in RR #.

Neben wie #f (y) = sqrty # ist eine monoton ansteigende Funktion, dann für jedes Extremum #g (x) # ist auch ein Extremum für:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Dies ist jedoch ein Polynom zweiter Ordnung mit führendem positiven Koeffizienten, daher hat es kein Maximum und ein einziges lokales Minimum.

Von #(1)# Wir können das leicht sehen als:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

und:

# x + 1 = 0 #

nur wenn # x = -1 #, dann:

#f (x)> = 4 #

und

#f (x) = 4 #

nur für # x = -1 #.

Folglich:

#g (x)> = 2 #

und:

#g (x) = 2 #

nur für # x = -1 #.

Können wir schließen, dass #g (x) # hat kein Maximum und ein globales und lokales Minimum in # x = -1 #

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, # x ##im## RR #

Wir brauchen # x ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ## x ##im## RR #:

#g '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (x + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#g '(x) = 0 # #<=># # (x = -1) #

• Zum #x <-1 # wir haben #g '(x) <0 # so #G# nimmt strikt ab # (- oo, -1 #

• Zum #x> ##-1# wir haben #g '(x)> 0 # so #G# steigt streng in # - 1, + oo) #

Daher #g (x)> = g (-1) = 2> 0 #, # AA ## x ##im## RR #

Als Ergebnis #G# hat ein globales Minimum an # x_0 = -1 #, #g (-1) = 2 #