Die Funktion 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 ist Maximum, Minimum oder Wendepunkt?

Antworten:

• Keine Minuten oder Maxes
• Wendepunkt um #x = -2 / 3 #.

Graph {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Erläuterung:

Minuten und Maxes

Für ein gegebenes # x #-Wert (nennen wir es) # c #) Um für eine bestimmte Funktion ein Maximum oder Minimum zu sein, muss Folgendes erfüllt sein:

#f '(c) = 0 # oder undefiniert.

Diese Werte von # c # werden auch deine genannt kritische Punkte.

Hinweis: Nicht alle kritischen Punkte sind max / min, aber alle max / min sind kritische Punkte

So finden wir diese für Ihre Funktion:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Dies ist kein Faktor, also versuchen wir die quadratische Formel:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… und wir können gleich dort aufhören. Wie Sie sehen, haben wir eine negative Zahl unter der Wurzel. Daher gibt es keine wirklichen kritischen Punkte für diese Funktion.

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Wendepunkte

Lassen Sie uns nun Wendepunkte finden. Dies sind Punkte, an denen der Graph eine Änderung der Konkavität (oder Krümmung) aufweist. Für einen Punkt (nennen Sie es # c #) Um ein Wendepunkt zu sein, muss Folgendes erfüllt sein:

#f '' (c) = 0 #.

Anmerkung: Nicht alle diese Punkte sind Wendepunkte, aber alle Wendepunkte müssen dies erfüllen.

Also lasst uns diese finden:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Nun müssen wir prüfen, ob dies tatsächlich ein Wendepunkt ist. Also müssen wir das überprüfen #f '' (x) # wechselt tatsächlich das Zeichen um #x = -2 / 3 #.

Lassen Sie uns also Werte rechts und links testen #x = -2 / 3 #:

Recht:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Links:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Es ist uns nicht so wichtig, wie die tatsächlichen Werte aussehen, aber wie wir deutlich sehen können, gibt es eine positive Zahl rechts von #x = -2 / 3 #und eine negative Zahl links von #x = -2 / 3 #. Daher ist es tatsächlich ein Wendepunkt.

Zusammenfassen, #f (x) # hat keine kritischen Punkte (oder min oder max), hat aber einen Wendepunkt an #x = -2 / 3 #.

Schauen wir uns die Grafik von an #f (x) # und sehen, was diese Ergebnisse bedeuten:

Graph {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Diese Grafik nimmt überall zu, so dass es keine Stelle gibt, an der die Ableitung = 0 ist. Sie geht jedoch von gekrümmt (konkav nach unten) zu gekrümmt (konkav nach oben) um #x = -2 / 3 #.

Hoffe das hat geholfen:)