Acht mal werden zwei faire sechsseitige Würfel geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Punktzahl größer als 7 nicht mehr als fünfmal erzielt wird?

Antworten:

#~=0.9391#

Erläuterung:

Bevor wir uns der Frage selbst nähern, wollen wir über die Methode sprechen, um sie zu lösen.

Nehmen wir zum Beispiel an, ich möchte alle möglichen Ergebnisse eines dreimaligen Umwerfens einer fairen Münze berücksichtigen. Ich kann HHH, TTT, TTH und HHT bekommen.

Die Wahrscheinlichkeit von H ist #1/2# und die Wahrscheinlichkeit für T ist auch #1/2#.

Das ist für HHH und für TTT # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # jeder.

Für TTH und HHT ist es auch # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # jeder, aber da es drei Möglichkeiten gibt, wie ich jedes Ergebnis erzielen kann, ist es am Ende # 3xx1 / 8 = 3/8 # jeder.

Wenn ich diese Ergebnisse zusammenfasse, bekomme ich #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - was bedeutet, dass ich jetzt alle möglichen Ergebnisse des Münzwechsels berücksichtigt habe.

Beachten Sie das wenn ich eingestellt habe # H # sein # p # und deshalb haben # T # Sein # ~ p #Beachten Sie auch, dass wir eine Zeile aus dem Pascalschen Dreieck haben #(1,3,3,1)#haben wir eine Form eingerichtet von:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

und so bekommen wir in diesem Beispiel:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Jetzt können wir das Problem lösen.

Wir bekommen die Anzahl der Würfe mit 8, also # n = 8 #.

# p # ist die Summe größer als 7. Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, eine Summe größer als 7 zu erhalten, betrachten wir die möglichen Würfe:

# ((Farbe (weiß) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Von 36 Möglichkeiten ergeben 15 Rollen eine Summe größer als 36, was eine Wahrscheinlichkeit von ergibt #15/36=5/12#.

Mit # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Wir können die gesamte Summe der Möglichkeiten ausschreiben - von allen 8 Würfeln eine Summe von mehr als 7 bis hin zu allen 8 Würfeln mit einer Summe von 7 oder weniger:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

Wir sind jedoch daran interessiert, nur die Begriffe zusammenzufassen, bei denen unsere Summe von mehr als 7 fünfmal oder weniger vorkommt:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Antworten:

#0.93906#

Erläuterung:

# "So P Ergebnis> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "tritt bei 8 Würfen k-mal auf = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k)" #

# "(Binomialverteilung)" #

# "mit" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(Kombinationen)" #

#"So, "#

#P "tritt bei 5 Würfen höchstens 5 mal auf #

# = 1 - P "tritt bei 8 Würfen 6, 7 oder 8 mal auf #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#

Zwei Würfel haben jeweils die Eigenschaft, dass eine 2 oder eine 4 dreimal so häufig erscheint wie eine 1, 3, 5 oder 6 bei jedem Wurf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 7 die Summe ist, wenn die zwei Würfel gewürfelt werden?

Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine 7 würfeln, beträgt 0,14. Sei x gleich der Wahrscheinlichkeit, dass du eine 1 würfst. Dies ist die gleiche Wahrscheinlichkeit wie beim Würfeln von 3, 5 oder 6. Die Wahrscheinlichkeit, eine 2 oder eine 4 zu würfeln, ist 3x. Wir wissen, dass sich diese Wahrscheinlichkeiten zu Eins addieren müssen. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln, + die Wahrscheinlichkeit, eine 2 zu würfeln, + die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu würfeln, + die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu rollen, + die Wahrscheinlichkeit, eine 5 zu rollen, + die Wahrscheinlichkeit des R

Sie würfeln zwei Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim zweiten Würfel eine 3 oder 6 erhalten, vorausgesetzt, Sie haben beim ersten Würfel eine 1 gewürfelt?

P (3 oder 6) = 1/3 Beachten Sie, dass das Ergebnis des ersten Würfels das Ergebnis des zweiten Würfels nicht beeinflusst. Wir werden nur nach der Wahrscheinlichkeit einer 3 oder 6 auf dem zweiten Würfel gefragt. Es gibt 63 Zahlen auf einem Würfel, von denen wir zwei wollen - entweder 3 oder 6 P (3 oder 6) = 2/6 = 1/3 Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit für beide Würfel haben wollen, müssen wir die Wahrscheinlichkeit von Zuerst die 1 bekommen. P (1,3) oder (1,6) = P (1,3) + P (1,6) = (1/6 xx 1/6) + (1/6 xx 1/6) = 1/36 +1/36 = 2/36 = 1/18 Wir hätten auch tun können: 1/6 xx 1/3 = 1/18

Sie würfeln zwei Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Würfel größer als 8 ist und dass einer der Würfel eine 6 zeigt?

Wahrscheinlichkeit: Farbe (grün) (7/36) Wenn wir annehmen, dass einer der Würfel rot und der andere blau ist, zeigt das folgende Diagramm die möglichen Ergebnisse. Es gibt 36 mögliche Ergebnisse, von denen 7 den gegebenen Anforderungen entsprechen.