Was löst x ^ 2-8x-20 = 0 durch Ausfüllen des Quadrats?

Antworten:

# x = 10 #

Erläuterung:

# x ^ 2-8x-20 = 0 #

Addiere 20 zu beiden Seiten …

# x ^ 2-8x = 20 #

Wenn Sie fertig sind, sollten wir eine Funktion der Form haben # (x + a) ^ 2 #. Diese Funktion wäre erweitert # x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 #. Ob # 2ax = -8x #, dann # a = -4 #bedeutet, dass unser Begriff sein wird # (x-4) ^ 2 #. Erweitert würde uns das geben # x ^ 2-8x + 16 #, um das Quadrat zu vervollständigen, müssen wir 16 auf beiden Seiten hinzufügen …

# x ^ 2-8x + 16 = 20 + 16 #

Jetzt verwandle es in unser # (x + a) ^ 2 # bilden…

# (x-4) ^ 2 = 36 #

Quadratwurzel auf beiden Seiten:

# x-4 = 6 #

Fügen Sie schließlich 4 zu beiden Seiten hinzu, um x zu isolieren.

# x = 10 #

Antworten:

# x = 10, qquad qquad x = -2 #

Erläuterung:

Bewegen Sie zuerst die # c # Wert für die RHS:

# x ^ 2-8x = 20 #

Hinzufügen # (frac {b} {2}) ^ 2 # zu beiden seiten:

# x ^ 2-8x + (frac {-8} {2}) ^ 2 = 20 + (frac {-8} {2}) ^ 2 #

Vereinfachung der Brüche:

# x ^ 2-8x + 16 = 20 + 16 #

Nun, da das LHS ein perfektes Quadrat ist, können wir es als einfassen # (x- frac {b} {2}) ^ 2 #

# (x-4) ^ 2 = 36 #

Nehmen Sie die echte (Nicht-Haupt-) Quadratwurzel:

# sqrt {(x-4) ^ 2} = sqrt {36} #

Vereinfachung:

# x-4 = pm 6 #

Isolieren für # x #:

# x = pm 6 + 4 #

# quad x = -6 + 4, qquad x = 6 + 4 #

# daher x = -2, qquad qquad x = 10 #