Ein Akkord mit einer Länge von 12 verläuft von Pi / 12 bis Pi / 6 im Bogenmaß. Was ist die Fläche des Kreises?

Antworten:

Fläche eines Kreises ist

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1 Quadratfuß ((2 + Quadrat (3)) / 4)) #

Erläuterung:

Das Bild oben zeigt die Bedingungen des Problems. Alle Winkel (zum besseren Verständnis vergrößert) werden in Bogenmaß von der horizontalen X-Achse aus gezählt #OCHSE# gegen den uhrzeigersinn.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Wir müssen einen Kreisradius finden, um seine Fläche zu bestimmen.

Wir kennen diesen Akkord # AB # hat Länge #12# und ein Winkel zwischen den Radien # OA # und # OB # (woher #O# ist ein Mittelpunkt eines Kreises) ist

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Baue eine Höhe #OH# von einem Dreieck #Delta AOB # vom Scheitelpunkt #O# zur Seite # AB #. Schon seit #Delta AOB # isosceles, #OH# ist ein Median und eine Winkelhalbierende:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck #Delta AOH #.

Wir kennen diese Kathete # AH = 6 # und Winkel # / _ AOH = pi / 24 #.

Daher Hypotenuse # OA #, das ist ein Radius unseres Kreises # r #, ist gleich

# r = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Wenn wir den Radius kennen, können wir einen Bereich finden:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Lassen Sie uns dies ohne trigonometrische Funktionen ausdrücken.

Schon seit

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2 phi)) / 2 #

Wir können den Bereich wie folgt ausdrücken:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Eine weitere trigonometrische Identität:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2 phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2 phi)) / 2 #

Deshalb,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Jetzt können wir die Fläche eines Kreises als darstellen

#S = (72pi) / (1-Quadrat ((2 + Quadrat (3)) / 4)) #

Antworten:

Ein anderer Ansatz das gleiche Ergebnis

Erläuterung:

Die Sehne AB der Länge 12 in der obigen Abbildung läuft ab# pi / 12 # zu # pi / 6 # im Radiuskreis r und Zentrum O, als Ursprung genommen.

# / _ AOX = pi / 12 # und # / _ BOX = pi / 6 #

Also Polarkoordinate von A # = (r, pi / 12) # und das von B # = (r, pi / 6) #

Anwenden der Abstandsformel für Polarkoordinaten

die Länge des Akkords AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-Quadrat (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-Quadrat (1/2 (1 + cos (pi / 6))) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-Quadrat (1/2 (1 + sqrt3 / 2)) #

Also Fläche des Kreises

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2)) #

# = (72pi) / (1 Quadratmeter ((2 + Quadrat 3) / 4) #