Vec (v_1) = [(2), (3)] und vec (v_1) = [(4), (6)] Wie groß ist der durch vec (v_1) und vec (v_1) definierte Bereich des Vektorraums? Erklären Sie Ihre Antwort ausführlich?

Antworten:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdainF #

Erläuterung:

Normalerweise sprechen wir über das Spanne einer Menge von Vektoren statt eines gesamten Vektorraums. Wir werden dann die Spannweite von untersuchen # {vecv_1, vecv_2} # innerhalb eines gegebenen Vektorraums.

Die Spanne einer Menge von Vektoren in einem Vektorraum ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen dieser Vektoren. Das heißt, eine Teilmenge gegeben # S # eines vektorraums über einem feld # F #, wir haben

# "span" (S) = ninNN, s_iinS, lambda_iinF #

(Die Menge jeder endlichen Summe, wobei jeder Ausdruck das Produkt eines Skalars und eines Elements von ist # S #)

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass sich unser gegebener Vektorraum über einem Teilfeld befindet # F # von # CC #. Wenden Sie dann die obige Definition an:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambda_iinF #

# = lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 #

Aber beachte das # vecv_2 = 2vecv_1 #und so für alle # lambda_1, lambda_2inF #,

# lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 = lambda_1vecv_1 + lambda_2 (2vecv_1) = (lambda_1 + 2lambda_2) vecv_1 #

Dann als lineare Kombination von # vecv_1 # und # vecv_2 # kann als skalares Vielfaches von ausgedrückt werden # vecv_1 #und ein beliebiges Skalar-Vielfaches von # vecv_1 # kann als lineare Kombination von ausgedrückt werden # vecv_1 # und # vecv_2 # indem man es einstellt # lambda_2 = 0 #, wir haben

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdavecv_1 #