Die Kraft, die auf ein Objekt ausgeübt wird, das sich horizontal auf einem linearen Weg bewegt, wird durch F (x) = x ^ 2-3x + 3 beschrieben. Um wie viel ändert sich die kinetische Energie des Objekts, wenn sich das Objekt von x in [0, 1] bewegt?

Antworten:

Newtons zweiter Bewegungssatz:

# F = m * a #

Definitionen von Beschleunigung und Geschwindigkeit:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

Kinetische Energie:

# K = m * u ^ 2/2 #

Antwort ist:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Newtons zweiter Bewegungssatz:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

Ersetzen # a = (du) / dt # hilft bei der Gleichung nicht, da # F # wird nicht als Funktion von gegeben # t # aber als Funktion von # x # Jedoch:

# a = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Aber # (dx) / dt = u # so:

# a = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

In die Gleichung, die wir haben, haben wir eine Differentialgleichung:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

Die beiden Geschwindigkeiten sind unbekannt, aber die Positionen # x # sind bekannt. Auch die Masse ist konstant:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Aber # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Hinweis: die Einheiten sind # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # nur wenn die abstände angegeben sind # (x in 0,1) # sind in Metern.