Was ist der lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)), wenn sich x von rechts auf 1 nähert?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

Graph {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Nun, das wäre viel einfacher, wenn wir einfach das nehmen würden # ln # von beiden Seiten. Schon seit # x ^ (1 / (1-x)) # ist kontinuierlich im offenen Intervall rechts von #1#, Wir können das sagen:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x -> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x -> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Schon seit #ln (1) = 0 # und #(1 - 1) = 0#Das ist von der Form #0/0# und L'Hopitals Regel gilt:

# = lim_ (x -> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

Und natürlich, # 1 / x # ist kontinuierlich von jeder Seite von #x = 1 #.

# => ln lim_ (x -> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Daher ist das ursprüngliche Limit:

#Farbe (blau) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = Farbe (blau) (1 / e) #