Was ist die Projektion von <0, 1, 3> auf <0, 4, 4>?

Antworten:

Die Vektorprojektion ist #< 0,2,2 >#ist die Skalarprojektion # 2sqrt2 #. Siehe unten.

Erläuterung:

Gegeben # veca = <0,1,3> # und # vecb = <0,4,4> #, wir können finden #proj_ (vecb) veca #, das Vektor Projektion von # veca # auf zu # vecb # mit der folgenden Formel:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Das heißt, das Punktprodukt der zwei Vektoren geteilt durch die Größe von # vecb #, multipliziert mit # vecb # geteilt durch seine Größe. Die zweite Größe ist eine Vektorgröße, da wir einen Vektor durch einen Skalar dividieren. Beachten Sie, dass wir uns teilen # vecb # durch seine Größe, um a zu erhalten Einheitsvektor (Vektor mit der Größe von #1#). Sie stellen möglicherweise fest, dass die erste Größe skalar ist, da wir wissen, dass, wenn wir das Punktprodukt von zwei Vektoren nehmen, das Ergebnis ein Skalar ist.

deshalb, die Skalar Projektion von #ein# auf zu # b # ist #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, auch geschrieben # | proj_ (vecb) veca | #.

Wir können mit dem Punktprodukt der beiden Vektoren beginnen:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Dann können wir die Größenordnung von finden # vecb # indem man die Quadratwurzel der Summe der Quadrate jeder der Komponenten nimmt.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

Und jetzt haben wir alles, um die Vektorprojektion von zu finden # veca # auf zu # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Die Skalarprojektion von # veca # auf zu # vecb # ist nur die erste Hälfte der Formel, wo #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Daher ist die Skalarprojektion # 16 / sqrt (32) #was sich weiter vereinfacht # 2sqrt2 #. Ich habe die Vereinfachung unten gezeigt.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Hoffentlich hilft das!