Was ist die Projektion von <0, 1, 3> auf <0, 4, 4>?

Antworten:

Die Vektorprojektion ist $< 0, 2, 2 >$ $< 0,2,2 >$ ist die Skalarprojektion $2 \sqrt{2}$ $2sqrt2$ . Siehe unten.

Erläuterung:

Gegeben $\to a = < 0, 1, 3 >$ $veca = <0,1,3>$ und $\to b = < 0, 4, 4 >$ $vecb = <0,4,4>$ , wir können finden $p r o j_{\to b} \to a$ $proj_ (vecb) veca$ , das Vektor Projektion von $\to a$ $veca$ auf zu $\to b$ $vecb$ mit der folgenden Formel:

$p r o j_{\to b} \to a = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{\to a \cdot \to b}{∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \frac{\to b}{∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣}$ $proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb |$

Das heißt, das Punktprodukt der zwei Vektoren geteilt durch die Größe von $\to b$ $vecb$ , multipliziert mit $\to b$ $vecb$ geteilt durch seine Größe. Die zweite Größe ist eine Vektorgröße, da wir einen Vektor durch einen Skalar dividieren. Beachten Sie, dass wir uns teilen $\to b$ $vecb$ durch seine Größe, um a zu erhalten Einheitsvektor (Vektor mit der Größe von $1$ $1$ ). Sie stellen möglicherweise fest, dass die erste Größe skalar ist, da wir wissen, dass, wenn wir das Punktprodukt von zwei Vektoren nehmen, das Ergebnis ein Skalar ist.

deshalb, die Skalar Projektion von $e \in$ $ein$ auf zu $b$ $b$ ist $c o m p_{\to b} \to a = \frac{a \cdot b}{| b |}$ $comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |)$ , auch geschrieben $∣ ∣ p r o j_{\to b} \to a ∣ ∣$ $| proj_ (vecb) veca |$ .

Wir können mit dem Punktprodukt der beiden Vektoren beginnen:

$\to a \cdot \to b = < 0, 1, 3 > \cdot < 0, 4, 4 >$ $veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4>$

$\Rightarrow (0 \cdot 0) + (4 \cdot 1) + (4 \cdot 3)$ $=> (0*0)+(4*1)+(4*3)$

$\Rightarrow 0 + 4 + 12 = 16$ $=>0+4+12=16$

Dann können wir die Größenordnung von finden $\to b$ $vecb$ indem man die Quadratwurzel der Summe der Quadrate jeder der Komponenten nimmt.

$∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣ = \sqrt{{(b_{x})}_{x}^{2} + {(b_{y})}_{y}^{2} + {(b_{z})}_{z}^{2}}$ $| vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2)$

$∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣ = \sqrt{{(0)}^{2} + {(4)}^{2} + {(4)}^{2}}$ $| vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2)$

$\Rightarrow \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32}$ $=> sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32)$

Und jetzt haben wir alles, um die Vektorprojektion von zu finden $\to a$ $veca$ auf zu $\to b$ $vecb$ .

$p r o j_{\to b} \to a = \frac{16}{\sqrt{32}} \cdot \frac{< 0, 4, 4 >}{\sqrt{32}}$ $proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32)$

$\Rightarrow \frac{16 < 0, 4, 4 >}{32}$ $=>(16 < 0,4,4 >)/32$

$\Rightarrow \frac{< 0, 4, 4 >}{2}$ $=>(< 0,4,4 >)/2$

$\Rightarrow < 0, 2, 2 >$ $=>< 0,2,2 >$

Die Skalarprojektion von $\to a$ $veca$ auf zu $\to b$ $vecb$ ist nur die erste Hälfte der Formel, wo $c o m p_{\to b} \to a = \frac{a \cdot b}{| b |}$ $comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |)$ . Daher ist die Skalarprojektion $\frac{16}{\sqrt{32}}$ $16 / sqrt (32)$ was sich weiter vereinfacht $2 \sqrt{2}$ $2sqrt2$ . Ich habe die Vereinfachung unten gezeigt.

$\frac{16}{\sqrt{32}}$ $16 / sqrt (32)$

$\Rightarrow \frac{16}{\sqrt{16 \cdot 2}}$ $=> 16 / sqrt (16 * 2)$

$\Rightarrow \frac{16}{4 \cdot \sqrt{2}}$ $=> 16 / (4 * sqrt2)$

$\Rightarrow \frac{4}{\sqrt{2}}$ $=> 4 / sqrt2$

$\Rightarrow \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$ $=> (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2)$

$\Rightarrow \frac{4 \sqrt{2}}{2}$ $=> (4sqrt2) / 2$

$\Rightarrow 2 \sqrt{2}$ $=> 2sqrt2$

Hoffentlich hilft das!

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Nachfolgend finden Sie einen Lösungsprozess: Zunächst können Sie den 387 Fuß langen Abstieg ignorieren. Es enthält keine nützlichen Informationen zu diesem Problem. Der Aufstieg verlässt Patrick auf einer Höhe von: 418 "Fuß" + 94 "Fuß" = 512 "Fuß" Der zweite Abstieg verlässt Patrick auf einer Höhe von: 512 "Fuß" - 132 "Fuß" = 380 "Fuß"

Was ist der visuelle und mathematische Unterschied zwischen einer Vektorprojektion von a auf b und einer orthogonalen Projektion von a auf b? Gibt es nur unterschiedliche Möglichkeiten, dasselbe zu sagen?

Trotz der gleichen Größenordnung und Richtung gibt es eine Nuance. Der Vektor der orthogonalen Projektion befindet sich auf der Linie, in der der andere Vektor wirkt. Die andere könnte parallel sein. Vektorprojektion ist nur eine Projektion in Richtung des anderen Vektors. Beide sind in Richtung und Größe gleich. Es wird jedoch angenommen, dass sich der Vektor der orthogonalen Projektion auf der Linie befindet, in der der andere Vektor wirkt. Die Vektorprojektion kann möglicherweise parallel sein

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Wenn Sie auf der Erde 155 Pfund wiegen, würden Sie auf dem Mars 58,59 Pfund wiegen. Wir können dies als Verhältnis angeben: (Gewicht auf dem Mars) / (Gewicht auf der Erde) Nennen wir das Gewicht auf dem Mars, nach dem wir suchen, w. Wir können jetzt schreiben: 47.25 / 125 = w / 155 Wir können jetzt nach w lösen, indem wir jede Seite der Gleichung mit Farbe (Rot) (155) Farbe (Rot) (155) xx 47.25 / 125 = Farbe (Rot) ( 155) xx w / 155 7323.75 / 125 = abbrechen (Farbe (rot) (155)) xx w / Farbe (rot) (abbrechen (Farbe (schwarz) (155))) 58,59 = ww = 58,59