Was ist die Projektion von <0, 1, 3> auf <0, 4, 4>?

Was ist die Projektion von <0, 1, 3> auf <0, 4, 4>?
Anonim

Antworten:

Die Vektorprojektion ist < 0,2,2 >ist die Skalarprojektion 2sqrt2 . Siehe unten.

Erläuterung:

Gegeben veca = <0,1,3> und vecb = <0,4,4> , wir können finden proj_ (vecb) veca , das Vektor Projektion von veca auf zu vecb mit der folgenden Formel:

proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb |

Das heißt, das Punktprodukt der zwei Vektoren geteilt durch die Größe von vecb , multipliziert mit vecb geteilt durch seine Größe. Die zweite Größe ist eine Vektorgröße, da wir einen Vektor durch einen Skalar dividieren. Beachten Sie, dass wir uns teilen vecb durch seine Größe, um a zu erhalten Einheitsvektor (Vektor mit der Größe von 1). Sie stellen möglicherweise fest, dass die erste Größe skalar ist, da wir wissen, dass, wenn wir das Punktprodukt von zwei Vektoren nehmen, das Ergebnis ein Skalar ist.

deshalb, die Skalar Projektion von ein auf zu b ist comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) , auch geschrieben | proj_ (vecb) veca | .

Wir können mit dem Punktprodukt der beiden Vektoren beginnen:

veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4>

=> (0*0)+(4*1)+(4*3)

=>0+4+12=16

Dann können wir die Größenordnung von finden vecb indem man die Quadratwurzel der Summe der Quadrate jeder der Komponenten nimmt.

| vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2)

| vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2)

=> sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32)

Und jetzt haben wir alles, um die Vektorprojektion von zu finden veca auf zu vecb .

proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32)

=>(16 < 0,4,4 >)/32

=>(< 0,4,4 >)/2

=>< 0,2,2 >

Die Skalarprojektion von veca auf zu vecb ist nur die erste Hälfte der Formel, wo comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) . Daher ist die Skalarprojektion 16 / sqrt (32) was sich weiter vereinfacht 2sqrt2 . Ich habe die Vereinfachung unten gezeigt.

16 / sqrt (32)

=> 16 / sqrt (16 * 2)

=> 16 / (4 * sqrt2)

=> 4 / sqrt2

=> (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2)

=> (4sqrt2) / 2

=> 2sqrt2

Hoffentlich hilft das!