Beweisen Sie: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Beweisen # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Lassen # cos ^ -1x = Theta #

# => x = Costheta #

Jetzt # LHS = 3theta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

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# 3 Arccos x = Arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Manchmal geht es beim Triggen weniger darum, Mathematik zu machen, als vielmehr Mathematik zu erkennen, wenn wir sie sehen. Hier erkennen wir # 4x ^ 3 -3x # wie die Cosinus-Dreifachwinkelformel, # cos (3 theta) # wann # x = cos theta #.

Factoid: # 4x ^ 3-3x # wird auch genannt # T_3 (x) #das dritte Chebyshev-Polynom der ersten Art. Im Algemeinen, # cos (nx) = T_n (cos x). #

Wir werden davon ausgehen # arccos # bezieht sich auf den Hauptwert. Ich ziehe es vor, den Auftraggeber anzurufen #text {Arc} Text {cos} # aber das ist schwerer zu tippen.

Genug Hintergrund. Sobald wir die Dreifachwinkelformel erkannt haben, ist der Beweis einfach.

Beweis:

Lassen #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #