Zwei Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks liegen bei (7, 5) und (3, 6). Wenn die Fläche des Dreiecks 6 beträgt, wie lang sind die Seiten des Dreiecks?

Antworten:

Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun. Der Weg mit den wenigsten Schritten wird unten erklärt.

Die Frage ist nicht eindeutig, welche zwei Seiten dieselbe Länge haben. In dieser Erklärung gehen wir davon aus, dass die beiden Seiten gleicher Länge die noch zu findenden sind.

Erläuterung:

Eine Seitenlänge können wir nur aus den Koordinaten herausfinden, die uns gegeben wurden.

# a = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# a = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# a = sqrt (16 + 1) #

# a = sqrt17 #

Dann können wir die Formel für die Fläche eines Dreiecks in Bezug auf seine Seitenlänge verwenden, um herauszufinden # b # und # c #.

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

woher # s = (a + b + c) / 2 # (nannte das Semiperimeter)

Schon seit # a = sqrt (17) # ist bekannt, und wir nehmen an # b = c #, wir haben

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#Farbe (rot) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Ersetzen Sie dies in die Bereichsformel oben sowie # A = 6 # und # a = sqrt17 #, wir bekommen

# 6 = sqrt ((farbe (rot) (sqrt (17) / 2 + b)) (farbe (rot) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (farbe (rot) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (Farbe (rot) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

Unsere Lösung ist # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Fußnote 1:

Es ist möglich, ein Dreieck mit zwei Längsseiten zu haben #sqrt (17) # und Bereich # A = 6 # (das heißt zu haben # a = b = sqrt (17) # anstatt # b = c #). Dies führt zu einer anderen Lösung.

Fußnote 2:

Wir hätten diese Frage auch lösen können, indem wir die Koordinaten des 3. Punktes finden. Dies hätte bedeuten müssen:

a) Ermitteln der Länge der bekannten Seite #ein#

b) Finden der Steigung # m # zwischen den beiden gegebenen Punkten

c) Ermitteln des Mittelpunkts # (x_1, y_1) # zwischen den beiden gegebenen Punkten

d) Finden der "Höhe" # h # dieses Dreiecks mit # A = 1/2 ah #

e) Ermitteln der Steigung der Höhe mit #m_h = (- 1) / m #

f) unter Verwendung der Steigungspunktformel # m_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # und die Höhenformel # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # um nach einem der Koordinaten des 3. Punktes zu suchen # (x_2, y_2) #

g) Vereinfachung der Ausbeuten nach Kombination dieser beiden Gleichungen

# x_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) Einstecken der bekannten Werte für # h #, # m_h #, und # x_1 # bekommen # x_2 #

i) Verwenden einer der beiden Gleichungen in (f) zum Finden # y_2 #

j) Verwenden der Abstandsformel zum Ermitteln der verbleibenden (identischen) Seitenlängen

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Sie können sehen, warum die erste Methode einfacher ist.