Was ist die Standardform der Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt ist an Punkt (5,8) und die durch den Punkt (2,5) verläuft?

Antworten:

# (x - 5) ^ 2 + (y - 8) ^ 2 = 18 #

Erläuterung:

Standardform eines Kreises ist # (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 #

Dabei ist (a, b) der Mittelpunkt des Kreises und r = Radius.

In dieser Frage ist das Zentrum bekannt, r aber nicht. Um jedoch r zu finden, der Abstand vom Zentrum zum Punkt (2, 5) ist der Radius. Verwenden

Die Entfernungsformel wird es uns ermöglichen, tatsächlich zu finden # r ^ 2 #

# r ^ 2 = (x_2 - x_1) ^ 2 + (y_2 - y_1) ^ 2 #

jetzt mit (2, 5) = # (x_2, y_2) und (5, 8) = (x_1, y_1) #

dann # (5 - 2)^2 + (8 - 5)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 #

Gleichung des Kreises: # (x - 5) ^ 2 + (y - 8) ^ 2 = 18 #

Antworten:

Ich fand: # x ^ 2 + y ^ 2-10x-16y + 71 = 0 #

Erläuterung:

Die Distanz # d # zwischen dem Mittelpunkt und dem angegebenen Punkt wird der Radius sein # r #.

Wir können es bewerten mit:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

So:

# r = d = sqrt ((2-5) ^ 2 + (5-8) ^ 2) = sqrt (9 + 9) = 3sqrt (2) #

Jetzt können Sie die allgemeine Form der Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt bei verwenden # (h, k) # und Radius # r #:

# (x-h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2 #

Und:

# (x-5) ^ 2 + (y-8) ^ 2 = (3sqrt (2)) ^ 2 #

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-16y + 64 = 18 #

# x ^ 2 + y ^ 2-10x-16y + 71 = 0 #