Wir haben: {1,2,3} -> {1,2} und g: {1,2,3} -> {1,2,3,4} .Wie viele injektiven f- und g-Funktionen gibt es?

Antworten:

# f # kann nicht injektiv sein

#G# kann injektiv sein #24# Wege.

Erläuterung:

Eine Funktion ist injektiv, wenn keine zwei Eingänge denselben Ausgang liefern. Mit anderen Worten, so etwas

#f (x) = f (y), quad x ne y #

kann nicht passieren

Dies bedeutet, dass im Fall der endlichen Domäne und der Codomäne eine Funktion genau dann injektiv sein kann, wenn die Domäne in Bezug auf die Kardinalität kleiner als die Codomäne (oder höchstens gleich) ist.

Deshalb # f # kann niemals injektiv sein. In der Tat können Sie beheben #f (1) # wie es Dir gefällt. Sagen #f (1) = 1 #, zum Beispiel. Bei der Wahl #f (2) #Das können wir nicht noch einmal sagen #f (2) = 1 #, oder # f # wäre nicht injektiv. Aber wenn es darum geht #f (3) # Wir haben keine Wahl, wenn wir sagen #f (3) = 1 # wir haben #f (1) = f (3) #und wenn wir sagen #f (3) = 2 # wir haben #f (2) = f (3) #.

Mit anderen Worten, wir müssen jedem der drei Eingänge einen von zwei möglichen Ausgängen zuordnen. Es sollte klar sein, dass die Eingänge keine unterschiedlichen Ausgänge liefern können.

Auf der anderen Seite #G# kann injektiv sein, da "genügend Platz" vorhanden ist: Jeder der drei Eingänge kann einen der vier Ausgänge so wählen, dass keine unterschiedlichen Eingänge den gleichen Ausgang liefern.

Aber auf wie viele Arten? Angenommen, wir fangen wieder mit an #f (1) #. Wir können eine der vier Ausgaben für diese Eingabe auswählen, so dass wir wählen können #f (1) # auf vier Arten.

Wenn es darum geht #f (2) #Wir verlieren etwas Freiheit: Wir können jedem Wert zuweisen #f (2) #, außer dem, den wir zugewiesen haben #f (1) #Wir haben also zwei Möglichkeiten. Zum Beispiel, wenn wir behoben haben #f (1) = 2 #, dann #f (2) # kann entweder sein #1#, #3# oder #4#.

Nach derselben Logik haben wir zwei Möglichkeiten #f (3) #: Von den vier möglichen Optionen schließen wir die bereits zugewiesenen aus #f (1) # und #f (3) #.

Wir können also definieren #G# im #4*3*2 = 24# Wege wie das #G# ist injektiv.