Was ist die Grenze von ((1 / x) - ((1) / (e ^ (x) -1)), wenn sich x 0 ^ + nähert?

Antworten:

# lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 #

Erläuterung:

Lassen:

# f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) #

# "" = ((e ^ x-1) - (x)) / (x (e ^ x-1)) #

# "" = (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) #

Dann suchen wir:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) #

Da dies von unbestimmter Form ist #0/0# Wir können die Regel von L'Hôpital anwenden.

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ x-x)) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) #

Auch dies ist eine unbestimmte Form #0/0# Wir können die Regel von L'Hôpital erneut anwenden:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (xe ^ x + e ^ x - 1)) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x) / (xe ^ x + e ^ x + e ^ x) #

# = (e ^ 0) / (0 + e ^ 0 + e ^ 0) #

# = 1/2 #