Zwei Zahlen unterscheiden sich um 3. Die Summe ihrer Gegenspieler beträgt sieben Zehntel. Wie findest du die Zahlen?

Antworten:

Es gibt zwei Lösungen für ein Problem:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Erläuterung:

Dies ist ein typisches Problem, das mit einem System aus zwei Gleichungen mit zwei unbekannten Variablen gelöst werden kann.

Lassen Sie die erste unbekannte Variable sein # x # und der zweite # y #.

Der Unterschied zwischen ihnen ist #3#, was zu der Gleichung führt:

(1) # x-y = 3 #

Ihre Gegenspieler sind # 1 / x # und # 1 / j #, deren Summe ist #7/10#, was zu der Gleichung führt:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Im Übrigen erfordert das Vorhandensein von Gegenständen die Einschränkungen:

#x! = 0 # und #y! = 0 #.

Um dieses System zu lösen, verwenden wir die Substitutionsmethode.

Aus der ersten Gleichung können wir ausdrücken # x # bezüglich # y # und ersetzen in die zweite Gleichung.

Aus Gleichung (1) können wir ableiten:

(3) #x = y + 3 #

Ersetzen Sie es in Gleichung (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Dies erfordert übrigens eine weitere Einschränkung:

# y + 3! = 0 #, das ist #y! = - 3 #.

Gemeinsamen Nenner verwenden # 10y (y + 3) # und wenn wir nur Zähler betrachten, transformieren wir Gleichung (4) in:

# 10y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wie folgt umgeschrieben werden kann:

# 20y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # oder

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

Zwei Lösungen für diese Gleichung sind:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

oder

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Wir haben also zwei Lösungen für # y #:

# y_1 = 2 # und # y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Entsprechend verwenden # x = y + 3 #Wir schließen daraus, dass es zwei Lösungen für ein System gibt:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

In beiden Fällen # x # ist größer als # y # durch #3#also ist die erste Bedingung eines Problems erfüllt.

Lassen Sie uns die zweite Bedingung überprüfen:

(a) für eine Lösung # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - geprüft

(b) für eine Lösung # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - geprüft

Beide Lösungen sind richtig.