Was ist die Quadratwurzel von 90?

Antworten:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Erläuterung:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # ist eine irrationale Zahl irgendwo dazwischen #sqrt (81) = 9 # und #sqrt (100) = 10 #.

In der Tat seit #90 = 9 * 10# ist von der Form #n (n + 1) # es hat eine regelmäßige kontinuierliche Fraktionserweiterung der Form # n; bar (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; Takt (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 +))…)))))) #

Eine unterhaltsame Möglichkeit, rationale Annäherungen zu finden, ist die Verwendung einer ganzzahligen Folge, die durch eine lineare Wiederholung definiert wird.

Betrachten Sie die quadratische Gleichung mit Nullen # 19 + 2sqrt (90) # und # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#Farbe (weiß) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#Farbe (weiß) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#Farbe (weiß) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

So:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Verwenden Sie dies, um eine Sequenz abzuleiten:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

Die ersten Ausdrücke dieser Sequenz sind:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen wird dazu tendieren # 19 + 2sqrt (90) #

Daher:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #