Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Berechnen Sie den Erwartungswert zu einem späteren Zeitpunkt t = t_1, phi_n sind Energieeigenfunktionen des unendlichen Potentialtopfes. Schreiben Sie die Antwort in Form von E_0?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Berechnen Sie den Erwartungswert zu einem späteren Zeitpunkt t = t_1, phi_n sind Energieeigenfunktionen des unendlichen Potentialtopfes. Schreiben Sie die Antwort in Form von E_0?
Anonim

Nun, ich verstehe # 14 / 5E_1 #… und angesichts des von Ihnen gewählten Systems kann es nicht erneut ausgedrückt werden # E_0 #.

Es gibt so viele Quantenmechanikregeln, die in dieser Frage gebrochen wurden …

  • Das # phi_0 #, da wir unendliche potenzielle Brunnenlösungen verwenden, verschwindet es automatisch … #n = 0 #, so #sin (0) = 0 #.

Und für den Zusammenhang hatten wir es gelassen #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

  • Es ist unmöglich die Antwort in Form von # E_0 # da #n = 0 # existiert NICHT für das unendliche Potenzial gut. Es sei denn, Sie möchten das Teilchen haben verschwinden Ich muss es in Form von schreiben # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…

  • Die Energie ist eine Konstante der Bewegung, d.h. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Also jetzt …

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

Der Erwartungswert ist eine Konstante der Bewegung, daher ist es uns egal, zu welcher Zeit # t_1 # wir wählen. Ansonsten ist dies kein konservatives System …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # für einige #n = 1, 2, 3,… #

Tatsächlich wissen wir bereits, was es sein sollte, da der Hamilton-Operator für das eindimensionale unendliche Potential zeitunabhängig ist …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

und das # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # gehe zu 1 im Integral:

#Farbe (blau) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

wo wir haben lassen #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Wieder heben sich alle Phasenfaktoren auf, und wir stellen fest, dass die Diagonalen außerhalb der Diagonale aufgrund der Orthogonalität des Werts gegen Null gehen # phi_n #.

Der Nenner ist die Norm von # Psi #, welches ist

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Deshalb, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Das gibt:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) abbrechen (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) abbrechen (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) abbrechen (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) abbrechen (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Wenden Sie die Derivate an:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Konstanten schweben heraus:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

Und dieses Integral ist aus physikalischen Gründen dafür bekannt, dass es auf halbem Weg liegt #0# und # L #, unabhängig von # n #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2 pi 2) / (2 ml ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4 ℏ ^ 2 pi 2) / (2 ml ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2 ml ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = Farbe (blau) (14/5 E_1) #

Antworten:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Erläuterung:

Jeder stationäre Zustand entspricht dem Energieeigenwert # E_n # nimmt einen Phasenfaktor auf #e ^ {- iE_n t} # auf Zeitentwicklung. Der angegebene Zustand ist nicht ein stationärer Zustand - da es sich um die Überlagerung von Energieeigenzuständen handelt, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören. Infolgedessen wird es sich auf nicht triviale Weise mit der Zeit entwickeln. Die Schroedinger-Gleichung, die die zeitliche Entwicklung von Zuständen bestimmt, ist jedoch linear - so dass sich jede Eigenenergie-Eigenfunktion unabhängig voneinander entwickelt und ihren eigenen Phasenfaktor aufnimmt.

Also die Startwellenfunktion

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

entwickelt sich mit der Zeit # t # zu

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Somit ist der Energieerwartungswert zum Zeitpunkt # t # ist gegeben durch

# <E> = int_infty ^ infty psi_A ** (x, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) mal (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

wo wir die Tatsache genutzt haben, dass die #phi_i (x) # sind Energieeigenfunktionen, so dass #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Dies gibt uns immer noch neun Begriffe. Die endgültige Berechnung wird jedoch durch die Tatsache vereinfacht, dass die Energieeigenfunktionen ortho-normalisiert sind. d.h. sie gehorchen

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Dies bedeutet, dass von den neun Integralen nur drei überleben und wir erhalten

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Mit dem Standardergebnis das #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, wir haben # E_1 = 4E_0 # und # E_2 = 9E_0 # für ein unendliches Potenzial gut (Sie können mehr an einen Ausdruck gewöhnt sein, der sagt: #E_n propto n ^ 2 # für ein unendliches gut - aber in diesen ist der grundzustand markiert # E_1 # - hier beschriften wir es # E_0 # - daher die Änderung). Somit

# <E> = (1/6 mal 1 + 1/3 mal 4 + 1/2 mal 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Hinweis:

  1. Während sich einzelne Energieeigenfunktionen mit der Zeit entwickeln, indem sie einen Phasenfaktor aufnehmen, die Gesamtwellenfunktion nicht unterscheiden sich von der ursprünglichen nur um einen Phasenfaktor - deshalb ist es kein stationärer Zustand mehr.
  2. Die beteiligten Integrale waren wie

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i /} t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} mal int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

    und diese sehen aus wie sie zeitabhängig sind. Die einzigen Integrale, die überleben, sind jedoch die für # i = j # - und das sind genau die, für die die Zeitabhängigkeit aufhört.

  3. Die letzten Ergebnisse passen dazu, dass #was {H} # bleibt erhalten - auch wenn der Zustand kein stationärer Zustand ist - der Energieerwartungswert ist zeitunabhängig.
  4. Die ursprüngliche Wave-Funktion ist seitdem bereits normalisiert # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # und diese Normalisierung bleibt in der Zeitentwicklung erhalten.
  5. Wir hätten viel Arbeit einsparen können, wenn wir ein quantenmechanisches Standardergebnis verwendet hätten - wenn eine Wellenfunktion in der Form erweitert würde #psi = sum_n c_n phi_n # bei dem die # phi_n # sind Eigenfunktionen eines hermitianischen Operators #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, dann # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #vorausgesetzt natürlich, dass die Zustände ordnungsgemäß normalisiert sind.