Angenommen, z = x + yi, wobei x und y reelle Zahlen sind. Wenn (iz-1) / (z-i) eine reelle Zahl ist, zeigen Sie, dass, wenn (x, y) nicht gleich (0, 1) ist, x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Antworten:

Siehe unten,

Wie # z = x + iy #

# (iz-1) / (z-i) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) #

= # (ix-y-1) / (x + i (y-1)) #

= # (ix- (y + 1)) / (x + i (y-1)) xx (x-i (y-1)) / (x-i (y-1)) #

= # ((ix- (y + 1)) (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) + i (y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (x ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

Wie # (iz-1) / (z-i) # ist echt

# (x ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # und # x ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Jetzt als # x ^ 2 + (y-1) ^ 2 # Ist die Summe zweier Quadrate, kann sie nur dann Null sein # x = 0 # und # y = 1 # d.h.

ob # (x, y) # ist nicht #(0,1)#, # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 #