Antworten:
Der Diskriminant #Delta# von # m ^ 2 + m + 1 = 0 # ist #-3#.
So # m ^ 2 + m + 1 = 0 # hat keine echten lösungen. Es hat ein konjugiertes Paar komplexer Lösungen.
Erläuterung:
# m ^ 2 + m + 1 = 0 # ist von der Form # am ^ 2 + bm + c = 0 #mit # a = 1 #, # b = 1 #, # c = 1 #.
Dies hat Diskriminanz #Delta# gegeben durch die Formel:
#Delta = b ^ 2-4ac = 1 ^ 2 - (4xx1xx1) = -3 #
Können wir schließen, dass # m ^ 2 + m + 1 = 0 # hat keine echten Wurzeln.
Die Wurzeln von # m ^ 2 + m + 1 = 0 # sind durch die quadratische Formel gegeben:
#m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) #
Beachten Sie, dass der Diskriminant der Teil innerhalb der Quadratwurzel ist. Also wenn #Delta> 0 # dann hat die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln. Ob #Delta = 0 # dann hat es eine echte Wurzel wiederholt. Ob #Delta <0 # dann hat es ein Paar von verschiedenen komplexen Wurzeln.
In unserem Fall:
#m = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) = (-1 + -sqrt (-3)) / 2 = (-1 + -i sqrt (3)) / 2 #
Die Nummer # (- 1 + i sqrt (3)) / 2 # wird oft mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet #Omega#.
Es ist die primitive Würfelwurzel von #1# und ist wichtig, wenn Sie alle Wurzeln einer allgemeinen kubischen Gleichung finden.
Beachte das # (m-1) (m ^ 2 + m + 1) = m ^ 3 - 1 #
So # omega ^ 3 = 1 #
Antworten:
Die Diskriminante von # (m ^ 2 + m + 1 = 0) # ist #(-3)# Das sagt uns, dass es für die Gleichung keine Real-Lösungen gibt (ein Diagramm der Gleichung kreuzt nicht die m-Achse).
Erläuterung:
Gegeben eine quadratische Gleichung (mit # m # als Variable) in der Form:
#Farbe (weiß) ("XXXX") ## am ^ 2 + bm + c = 0 #
Die Lösung (in Bezug auf # m #) wird durch die quadratische Formel gegeben:
#Farbe (weiß) ("XXXX") ##m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #
Das Diskriminant ist der Teil:
#Farbe (weiß) ("XXXX") ## b ^ 2-4ac #
Wenn die Diskriminant ist Negativ
#Farbe (weiß) ("XXXX") #Es kann geben keine echten lösungen
#Farbe (weiß) ("XXXX") #(da es keinen reellen Wert gibt, der die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist).
Für das gegebene Beispiel
#Farbe (weiß) ("XXXX") ## m ^ 2 + m + 1 = 0 #
der diskriminant, #Delta# ist
#Farbe (weiß) ("XXXX") ##(1)^2 - 4(1)(1) = -3#
und deshalb
#Farbe (weiß) ("XXXX") #Es gibt keine wirklichen Lösungen für dieses Quadrat.
