Was ist die Grenze, wenn sich x der Unendlichkeit von (ln (x)) ^ (1 / x) nähert?

Das ist ganz einfach. Sie müssen die Tatsache nutzen

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Dann weißt du das

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

Und dann passiert der interessante Teil, der auf zwei Arten gelöst werden könnte: Intuition und Mathematik.

Beginnen wir mit dem Teil der Intuition.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("etwas kleiner als x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Lasst uns überlegen, warum das so ist?

Dank der Kontinuität von # e ^ x # Funktion können wir Limit verschieben:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Um dieses Limit zu bewerten #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #können wir die de-l'Hospital-Regel verwenden, die besagt:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Wenn wir also Ableitungen zählen, erhalten wir:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Da sind Derivate # 1 / (xln (x)) # für Nominator und #1# für den Nenner.

Diese Grenze ist so einfach zu berechnen, wie sie ist # 1 / infty # Art der Grenze, die Null ist.

Deshalb siehst du das

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

Und das heißt das #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # auch.

Was ist die Grenze, wenn sich x der Unendlichkeit von sinx nähert?

Der Bereich von y = sinx ist R = [-1; +1]; Die Funktion schwankt zwischen -1 und +1. Daher ist der Grenzwert, wenn x gegen unendlich geht, nicht definiert.

Was ist die Grenze, wenn sich x der Unendlichkeit von x nähert?

Lim_ (x-> oo) x = oo Zerlegen Sie das Problem in Worte: "Was passiert mit einer Funktion, x, wenn wir x unbeschränkt vergrößern?" x würde auch ohne Bindung zunehmen oder zu oo gehen. Dies zeigt uns grafisch, dass unsere Funktion, die in diesem Fall nur eine Linie ist, immer weiter auf der x-Achse (steigende Werte von x, geht zu oo) weitergeht und ohne Einschränkungen weiter nach oben (steigend) geht. Graph {y = x [-10, 10, -5, 5]}

Was ist die Grenze von ((1) / (x)) - ((1) / (e ^ (x) -1)), wenn sich x der Unendlichkeit nähert?

Wenn sich zwei Grenzwerte einzeln an 0 annähern, nähert sich das Ganze 0 an. => lim_ (x -> oo) 1 / x - lim_ (x -> oo) 1 / (e ^ x - 1) Die erste Grenze ist trivial; 1 / "large" ~~ 0. Der zweite fordert Sie auf zu wissen, dass e ^ x mit x zunimmt. Daher gilt als x oo e ^ x oo. => Farbe (blau) (lim_ (x -> oo) 1 / x - 1 / (e ^ x - 1)) = 1 / oo - 1 / (oo - Abbruch (1) ^ "klein") = 0 - 0 = Farbe (blau) (0)