Bitte lösen Sie das? Welche Option ist richtig?

Dies kann leicht mit elementaren Mitteln als nicht machbar angesehen werden, also habe ich es einfach numerisch gelöst und erhielt:

Ich habe das Integral für bewertet #n = 1, 1.5, 2,…, 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Bis dahin war es eindeutig zu erreichen #0.5#.

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

oder

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Wenn man nun annimmt, dass eine der Antworten wahr ist, scheint die natürlichste vierte zu sein. 4)

HINWEIS

zum #x in 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Antworten:

#1/2#

Erläuterung:

Wie bereits in einer früheren Lösung gezeigt, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

existiert und ist begrenzt:

# 1/2 le I_n <1 #

Nun ergibt sich die Integration durch Teile

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n mal (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Jetzt seit # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # im #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

Schon seit #lim_ (n bis oo) I_n # existiert, wir haben

#lim_ (n bis oo) J_n = lim_ (n bis oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n bis oo) 2 / (n + 2) mal lim_ (n bis oo) I_ (n + 2) = 0 #

Daher

# lim_ (n bis oo) I_n = 1/2 #