Was ist die einfachste radikale Form von sqrt115?

Antworten:

Es gibt keine einfachere Form

Erläuterung:

Mit Radikalen versuchen Sie, das Argument zu faktorisieren und zu sehen, ob es Quadrate gibt, die unter der Wurzel herausgenommen werden können.

Beispiel: # sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) xxsqrt5 = 5sqrt5 #

In diesem Fall kein solches Glück:

# sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

Antworten:

#sqrt (115) # ist schon in einfachster Form.

Erläuterung:

Die Hauptfaktorisierung von #115# ist:

#115 = 5*23#

Da es keine quadratischen Faktoren gibt, ist es nicht möglich, die Quadratwurzel zu vereinfachen. Es ist möglich, es als Produkt auszudrücken, aber das gilt nicht als einfacher:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#Farbe weiß)()#

Bonus

Wie jede irrationale Quadratwurzel einer rationalen Zahl #sqrt (115) # hat eine sich wiederholende kontinuierliche Fraktionsausdehnung:

#sqrt (115) = 10; Takt (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

Sie können die fortgesetzte Fraktionsexpansion frühzeitig kürzen, um rationale Näherungen für zu erhalten #sqrt (115) #.

Zum Beispiel:

#sqrt (115) ~~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,2,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

Indem wir kurz vor dem Ende des sich wiederholenden Abschnitts der fortgesetzten Fraktion abschneiden, haben wir die einfachste rationale Annäherung für gefunden #sqrt (115) # das erfüllt Pells Gleichung.

Das ist:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

unterscheiden sich nur durch #1#.

Das macht # 1126/105 ~~ 10,7bar (238095) # eine effiziente Annäherung für #sqrt (115) ~~ 10.7238052947636 #