F auf Konkavität testen?

Antworten:

# f # ist konvex in # RR #

Erläuterung:

Ich habe es gelöst.

# f # ist 2 mal differenzierbar # RR # so # f # und # f '# sind kontinuierlich in # RR #

Wir haben # (f '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Beide Teile werden unterschieden

# 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # so #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Wir brauchen das Vorzeichen des Zählers, um eine neue Funktion in Betracht zu ziehen

#g (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , # x ##im## RR #

#g '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Das merken wir #g '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Zum # x = π # #=># #g '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Zum # x = -π # #g '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Wir bekommen endlich diese Tabelle, die die Monotonie von zeigt #G#

Soll # I_1 = (- oo, 0 # und # I_2 = 0, + oo) #

#g (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, + oo) #

#g (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, + oo) #

da

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Mit dem Squeeze / Sandwich-Theorem haben wir

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Deshalb, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Mit dem gleichen Prozess enden wir zu

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Jedoch, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Deshalb, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Der Bereich von #G# wird sein:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) uug (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # so #G# hat keine Wurzeln in # RR #

  #G# ist kontinuierlich in # RR # und hat keine Lösungen. Deshalb, #G# bewahrt anmelden # RR #

Das bedeutet

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Somit, #g (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Als Ergebnis #g (x)> 0 #, # x ##im## RR #

Und #f '' (x)> 0 #, # x ##im## RR #

#-># # f # ist konvex in # RR #

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Gegeben #y = f (x) # Der Krümmungsradius der Kurve ist gegeben durch

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # so gegeben

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # wir haben

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # oder

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # oder

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # oder

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x) + 3x ^ 3-sinx + 2) #

jetzt analysieren #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # wir haben

#min g (x) = 0 # zum #x in RR # so #g (x) ge 0 # und dann die Krümmung in

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # ändert das Vorzeichen nicht und wir schließen daraus #f (x) # Inschrift ist konvex in # RR #