Ein wissenschaftlicher Mitarbeiter stellte 160 mg radioaktives Natrium (Na ^ 24) her und stellte fest, dass 45 Stunden später nur noch 20 mg übrig blieben. Wie viel von den ursprünglichen 20 mg würden in 12 Stunden übrig bleiben?

Antworten:

#=11.49# mg wird übrig bleiben

Erläuterung:

Lasst die Zerfallsrate sein # x # pro Stunde

Also können wir schreiben

# 160 (x) ^ 45 = 20 #

oder

# x ^ 45 = 20/160 #

oder

# x ^ 45 = 1/8 #

oder

# x = root45 (1/8) #

oder

# x = 0,955 #

Ähnlich nach #12# Std

#20(0.955)^12#

#=20(0.57)#

#=11.49# mg wird übrig bleiben

Antworten:

Das herkömmliche Modell des radioaktiven Zerfalls ist nur eine leichte Alternative.

Nach 12 Stunden haben wir 11.49 mg

Erläuterung:

Lassen #Q (t) # bezeichnet die zur Zeit vorhandene Menge an Natrium # t #. Beim # t = 0, Q = Q_0 #

Es ist ein ziemlich einfaches Modell, das mit ODEs gelöst werden kann, aber da es nicht wirklich mit der Frage zusammenhängt, endet es damit

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) # woher # k # ist eine Geschwindigkeitskonstante.

Zunächst finden wir den Wert von # k #

# Q_0 = 160 mg, Q (45) = 20 mg #

#Q (45) = 20 = 160e ^ (- 45k) #

# daher 1/8 = e ^ (- 45k) #

Nehmen Sie natürliche Protokolle von beiden Seiten:

#ln (1/8) = -ln (8) = -45k #

# k = (ln (8)) / 45 h ^ (- 1) #

# daher Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (8)) / 45t) #

Beginnen wir also mit # Q_0 = 20 mg #

# Q (12) = 20e ^ (- (In (8)) / 45 * 12) = 11.49 mg #