Wie kann ich intx sinx cosx dx integrieren?

Antworten:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Erläuterung:

Zuerst können wir die Identität verwenden:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

was gibt:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Jetzt können wir die Integration nach Teilen verwenden. Die Formel lautet:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Ich werde es lassen #f (x) = sin (2x) # und #g '(x) = e ^ x / 2 #. Bei Anwendung der Formel erhalten wir:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Jetzt können wir die Integration von Teilen erneut anwenden, diesmal mit #f (x) = cos (2x) # und #g '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Jetzt haben wir das Integral auf beiden Seiten der Gleichheit, so dass wir es wie eine Gleichung lösen können. Zuerst fügen wir das 2-fache auf beiden Seiten hinzu:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Da wir einen halben Koeffizienten für das ursprüngliche Integral haben wollten, teilen wir beide Seiten durch #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Antworten:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Erläuterung:

Wir suchen:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Welche mit der identität:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Wir können schreiben als:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Wo für Bequemlichkeit bezeichnen wir:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, und # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Jetzt führen wir die Integration noch einmal durch.

Lassen # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Dann stecken wir uns in die IBP-Formel ein:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B

Jetzt haben wir zwei simultane Gleichungen in zwei Unbekannten # I_S #. und # I_C #so dass wir B in A einsetzen, haben wir:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Führt zu:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #