Wie finde ich das Integral int (ln (x)) ^ 2dx?

Unser Ziel ist es, die Kraft von zu reduzieren #ln x # damit ist das Integral leichter zu bewerten.

Dies können wir durch die Integration von Teilen erreichen. Beachten Sie die IBP-Formel:

#int u dv = uv - int v du #

Jetzt werden wir es lassen #u = (lnx) ^ 2 #, und #dv = dx #.

Deshalb, #du = (2lnx) / x dx #

und

#v = x #.

Nun, wenn wir die Teile zusammenbauen, bekommen wir:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Dieses neue Integral sieht viel besser aus! Etwas zu vereinfachen und die Konstante nach vorne zu bringen, ergibt:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Um dieses nächste Integral loszuwerden, werden wir eine zweite Teilintegration durchführen #u = ln x # und #dv = dx #.

Somit, #du = 1 / x dx # und #v = x #.

Zusammenbau gibt uns:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Jetzt müssen Sie nur noch die Vereinfachung vereinfachen und die Konstante der Integration hinzufügen:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

Und da haben wir es. Denken Sie daran, dass es bei der Integration von Teilen nur ums Kommissionieren geht # u # so dass unordentliche Dinge aus dem Integrand entfernt werden. In diesem Fall haben wir gebracht # (ln x) ^ 2 # bis zu #ln x #und dann runter zu # 1 / x #. Am Ende einige # x #wurde abgesagt und es wurde einfacher zu integrieren.