Wie finde ich das Integral int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Integration durch Teile verwenden,

# intx ^ 2sinpixdx #

#=#

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Denken Sie daran, dass die Integration durch Teile die Formel verwendet:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

Welche basiert auf der Produktregel für Derivate:

#uv = vdu + udv #

Um diese Formel verwenden zu können, müssen wir entscheiden, welcher Begriff sein wird # u #und was wird sein # dv #. Ein nützlicher Weg, um herauszufinden, welcher Begriff wo ist ICH SPÄT Methode.

Inverse Trig

Logarithmen

Algebra

Trig

Exponentiale

Dadurch erhalten Sie eine Prioritätsreihenfolge, für die der Begriff verwendet wird.# u #", so wird das, was übrig bleibt, zu unserem # dv #. Unsere Funktion enthält ein # x ^ 2 # und ein # sinpix #Das sagt uns die ILATE-Methode # x ^ 2 # sollte als unser verwendet werden # u #, da es algebraisch ist und höher auf der Liste steht als # sinpix #das ist trig.

Wir haben nun:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

Die nächsten Elemente, die wir in der Formel brauchen, sind "# du #" und "# v #", was wir bekommen, wenn wir die Ableitung von" finden# u #"und das Integral von"# dv #'.

Die Ableitung wird mit der Potenzregel erhalten:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

Für das Integral können wir Substitution verwenden.

mit #w = pix #wir enden mit # (- 1 / pi) cosw #

Wir haben nun:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

Wir integrieren uns in unsere ursprüngliche Formel für Integration durch Teile:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #

Wir haben jetzt ein anderes Integral, das wir erneut durch Integration durch Teile auflösen müssen. Durch Ziehen an der #2# Aus dem Integral bleiben wir zurück #u = x #, #dv = cospix #. Wenn wir den gleichen Prozess wie zuvor durchlaufen, erhalten wir:

#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

Dieses letzte Integral können wir mit einer letzten Substitutionsrunde lösen und geben uns:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

Alles was wir gefunden haben, haben wir jetzt:

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #

Jetzt können wir die Negative und Klammern vereinfachen, um unsere endgültige Antwort zu erhalten:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Der Schlüssel ist, sich daran zu erinnern, dass am Ende eine Kette aus mehreren Begriffen entsteht, die zusammen hinzugefügt oder abgezogen werden. Sie teilen das Integral kontinuierlich in kleinere, handhabbare Teile auf, die Sie für die endgültige Antwort nachverfolgen müssen.

Wie finde ich das Integral int (ln (x)) ^ 2dx?

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