Löse ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Antworten:

Eine kurze Skizze …

Erläuterung:

Gegeben:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # mit #a! = 0 #

Das wird ziemlich schnell chaotisch, daher werde ich nur eine Methode skizzieren …

Mal # 256a ^ 3 # und ersatz #t = (4ax + b) # um ein depressives monisches Viertel der Form zu bekommen:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Beachten Sie, dass da kein Begriff in hat # t ^ 3 #, muss es in der Form berücksichtigen:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#Farbe (weiß) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Gleiche Koeffizienten und ein wenig Umordnung haben wir:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Also finden wir:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#Farbe (weiß) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#Farbe (weiß) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Multiplizieren, multiplizieren mit # A ^ 2 # und etwas neu anordnen, wird dies zu:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Diese "Kubik in # A ^ 2 #"hat mindestens eine echte Wurzel. Idealerweise hat sie eine positive reale Wurzel, die zwei mögliche reelle Werte ergibt #EIN#. Unabhängig davon ist jede Wurzel des Cubic geeignet.

Gegeben der Wert von #EIN#, wir haben:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Daher erhalten wir zwei zu lösende Quadrate.