Welche Bedeutung hat partielle Ableitung? Nennen Sie ein Beispiel und helfen Sie mir, es kurz zu verstehen.

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Ich hoffe, es hilft.

Die partielle Ableitung ist untrennbar mit der Gesamtvariation verbunden.

Angenommen, wir haben eine Funktion #f (x, y) # und wir möchten wissen, wie sehr es schwankt, wenn wir jeder Variablen ein Inkrement hinzufügen.

Ideen fixieren, machen #f (x, y) = k x y # Wir möchten wissen, wie viel es ist

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

In unserem Funktionsbeispiel haben wir

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

und dann

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Auswahl #dx, dy # beliebig klein dann #dx dy ca 0 # und dann

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

aber allgemein

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) - f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) - f (x + dx, y)) / dy dy #

jetzt machen #dx, dy # beliebig klein haben wir

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

Wir können also die Gesamtabweichung für eine gegebene Funktion berechnen, indem wir die partiellen Ableitungen berechnen #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # und Compoundierung

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Hier die Mengen #f_ (x_i) # werden partielle Ableitungen genannt und können auch als dargestellt werden

# (teilweise f) / (teilweise x_i) #

In unserem Beispiel

#f_x = (partielles f) / (partielles x) = k x # und

#f_y = (partielles f) / (partielles y) = k y #

HINWEIS

#f_x (x, y) = lim ((dx -> 0), (dy -> 0)) (f (x + dx, y) - f (x, y)) / dx = lim - ((dx -> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim ((dx 0), (dy 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim ((dx) 0), (dy -> 0)) (f (x + dx, y + dy) - f (x, y)) / dy #

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Um die Antwort von Cesareo zu ergänzen, werde ich eine weniger mathematisch strenge einleitende Definition geben.

Die partielle Ableitung sagt uns, wie sehr sich eine Funktion mit mehreren Variablen ändert wenn andere Variablen konstant gehalten werden. Nehmen wir zum Beispiel an, wir sind gegeben

#U (A, t) = A ^ 2t #

Woher # U # ist die Nutzen- (Glücks-) Funktion eines bestimmten Produkts, #EIN# ist die Produktmenge und # t # ist die Zeit, für die das Produkt verwendet wird.

Angenommen, das Unternehmen, das das Produkt herstellt, möchte wissen, wie viel mehr Nutzen es daraus ziehen kann, wenn es die Lebensdauer des Produkts um 1 Einheit erhöht. Das partielle Derivat teilt dem Unternehmen diesen Wert mit.

Die partielle Ableitung wird im Allgemeinen mit dem griechischen Kleinbuchstaben Delta (#teilweise#), aber es gibt andere Notationen. Wir werden verwenden #teilweise# zur Zeit.

Wenn wir versuchen herauszufinden, wie sehr sich der Nutzen des Produkts mit einer Zeitsteigerung von 1 Einheit ändert, berechnen wir die partielle Ableitung des Nutzens in Bezug auf die Zeit:

# (partielleU) / (teilweise) #

Um die PD zu berechnen, Wir halten andere Variablen konstant. In diesem Fall behandeln wir # A ^ 2 #die andere Variable, als wäre es eine Zahl. Man erinnere sich an den Einführungskalkül, dass die Ableitung einer Konstanten einer Variablen nur die Konstante ist. Es ist dieselbe Idee hier: die (partielle) Ableitung von # A ^ 2 #eine konstante Zeiten # t #Die Variable ist nur die Konstante:

# (partielleU) / (teilweise) = A ^ 2 #

Daher erhöht sich die Produktionszeit des Produkts um 1 Einheit # A ^ 2 # mehr Dienstprogramm. Mit anderen Worten, das Produkt wird zufriedenstellender, wenn es häufiger verwendet werden kann.

Zu partiellen Ableitungen gibt es noch viel, viel mehr zu sagen - in der Tat können ganze Grund- und Hochschulstudiengänge dazu verwendet werden, nur einige Arten von Gleichungen mit partiellen Ableitungen zu lösen - aber der Grundgedanke ist, dass die partielle Ableitung uns sagt, wie viel Variable ändert sich, wenn die anderen gleich bleiben.