Was bedeutet der Begriff invertierbare Matrix?

Die kurze Antwort lautet: Wenn die Koeffizientenmatrix in einem System linearer Gleichungen invertierbar ist, ist Ihre Lösung einzigartig, das heißt, Sie haben eine Lösung.

Es gibt viele Eigenschaften für eine invertierbare Matrix, die Sie hier auflisten möchten. Sie sollten sich daher den Invertible Matrix Theorem ansehen. Damit eine Matrix invertierbar ist, muss es sein Quadrat Das heißt, es hat die gleiche Anzahl von Zeilen wie Spalten.

Im Allgemeinen ist es wichtiger zu wissen, dass eine Matrix invertierbar ist, anstatt tatsächlich eine invertierbare Matrix zu erzeugen, da die Berechnung der invertierbaren Matrix im Vergleich zum bloßen Lösen des Systems mit mehr Rechenaufwand verbunden ist. Sie würden eine inverse Matrix berechnen, wenn Sie nach vielen Lösungen suchen.

Angenommen, Sie haben dieses System linearer Gleichungen:

# 2x + 1.25y = b_1 #

# 2.5x + 1.5y = b_2 #

und du musst lösen # (x, y) # für die Konstantenpaare: #(119.75, 148), (76.5, 94.5), (152.75, 188.5)#. Sieht nach viel Arbeit aus! In Matrixform sieht dieses System wie folgt aus:

# Axt = b #

woher #EIN# ist die Koeffizientenmatrix, # x # ist der Vektor # (x, y) # und # b # ist der Vektor # (b_1, b_2) #. Wir können lösen für # x # mit etwas Matrixalgebra:

# x = A ^ (- 1) b #

woher #A ^ (- 1) # ist die inverse Matrix. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die inverse Matrix zu berechnen, deshalb gehe ich jetzt nicht darauf ein.

#A ^ (- 1) = #

#-12, 10#

#20, -16#

Um die Lösungen zu erhalten, haben wir:

# -12 * 119.75 + 10 * 148 = 43 = x_1 #

# 20 * 119.75-16 * 148 = 27 = y_1 #

# -12 * 76,5 + 10 * 94,5 = 27 = x_2 #

# 20 * 76,5-16 * 94,5 = 18 = y_2 #

# -12 * 152,75 + 10 * 188,5 = 52 = x_3 #

# 20 * 152.75-16 * 188.5 = 39 = y_3 #

Ist das nicht einfacher als das Lösen von 3 Systemen?