Wasser tritt mit einer Geschwindigkeit von 10.000 cm3 / min aus einem umgekehrten konischen Tank aus, während Wasser mit einer konstanten Rate in den Tank gepumpt wird, wenn der Tank eine Höhe von 6 m hat und der Durchmesser an der Spitze 4 m beträgt Wenn der Wasserstand bei einer Höhe von 2 m um 20 cm / min ansteigt, wie finden Sie die Geschwindigkeit, mit der das Wasser in den Tank gepumpt wird?

Lassen # V # das Wasservolumen im Tank sein, in # cm ^ 3 #; Lassen # h # die Tiefe / Höhe des Wassers in cm sein; und lass # r # der Radius der Wasseroberfläche (oben) in cm sein. Da der Tank ein umgekehrter Kegel ist, ist dies auch die Wassermasse. Da der Tank eine Höhe von 6 m und einen Radius an der Spitze von 2 m hat, deutet dies auf ähnliche Dreiecke hin # frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 # damit # h = 3r #.

Das Volumen des umgekehrten Wasserkegels beträgt dann # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Unterscheiden Sie nun beide Seiten nach Zeit # t # (in Minuten) zu bekommen # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (Die Kettenregel wird in diesem Schritt verwendet).

Ob #V_ {i} # ist das Volumen von Wasser, das dann hineingepumpt wurde # frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (Wenn die Höhe / Tiefe des Wassers 2 Meter beträgt, beträgt der Radius des Wassers # frac {200} {3} # cm).

Deshalb # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 ca. 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {min} #.