Antworten:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Erläuterung:
Lassen #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Nehmen wir an, es handelt sich um reale Werte und damit um den echten natürlichen Logarithmus.
Dann sind wir dazu gezwungen #x> 0 # damit das #ln (5x) # definiert sein.
Für alle #x> 0 # Beide Begriffe sind gut definiert und so #f (x) # ist eine gut definierte Funktion mit Domain # (0, oo) #.
Beachten Sie, dass # 3ln (5) # und # x ^ 3 # Beide Bereiche sind in dieser Domäne streng monoton. Daher ist auch unsere Funktion eins zu eins.
Für kleine positive Werte von # x #, der Begriff # x ^ 3 # ist klein und positiv und der Begriff # 3ln (5x) # ist beliebig groß und negativ.
Für große positive Werte von # x #, der Begriff # 3ln (5x) # ist positiv und der Begriff # x ^ 3 # ist willkürlich groß und positiv.
Da die Funktion auch stetig ist, ist der Bereich # (- oo, oo) #
Also für jeden Wert von #y in (-oo, oo) # Es gibt einen eindeutigen Wert von #x in (0, oo) # so dass #f (x) = y #.
Dies definiert unsere Umkehrfunktion:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Das ist #f ^ (- 1) (y) # ist der Wert von # x # so dass #f (x) = y #.
Wir haben (informell) gezeigt, dass dies existiert, aber es gibt keine algebraische Lösung für # x # bezüglich # y #.
Der Graph von #f ^ (- 1) (y) # ist der Graph von #f (x) # spiegelt sich in der Linie # y = x #.
In Satznotation:
#f = {(x, y) in (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) in RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
