Was ist die Scheitelpunktform von 4y = 5x ^ 2 -7x +3?

Antworten:

# y = Farbe (Grün) (5/4) (X-Farbe (Rot) (7/10)) ^ 2 + Farbe (Blau) (11/80) #

Erläuterung:

Denken Sie daran, dass die Scheitelpunktform (unser Ziel) ist im Allgemeinen

#Farbe (weiß) ("XXX") y = Farbe (grün) m (X-Farbe (rot) a) ^ 2 + Farbe (blau) b # mit Scheitelpunkt an # (Farbe (rot) a, Farbe (blau) b) #

Gegeben

#Farbe (weiß) ("XXX") 4y = 5x ^ 2-7x + 3 #

Wir müssen alles durch teilen #4# isolieren # y # auf der rechten Seite

#Farbe (weiß) ("XXX") y = 5 / 4x ^ 2-7 / 4x + 3/4 #

Wir können jetzt das extrahieren #color (grün) m # Faktor aus den ersten beiden Begriffen:

#Farbe (weiß) ("XXX") y = Farbe (grün) (5/4) (x ^ 2-7 / 5x) + 3/4 #

Wir wollen schreiben # (x ^ 2-7 / 5x) # als quadriertes Binomial durch Einfügen einer Konstante (die an anderer Stelle abgezogen werden muss).

Denken Sie daran, dass das quadratische Binom

#Farbe (weiß) ("XXX") (x + p) ^ 2 = (x ^ 2 + (2p) x + p ^ 2) #

da der Koeffizient der # x # Begriff von # (x ^ 2-7 / 5x) # ist #(-7/5)#

unser Wert für # 2p = -7 / 5 rarr p = -7 / 10 rarr p ^ 2 = 49/100 #

Wir müssen also eine Bezeichnung von einfügen #Farbe (Magenta) ((- 7/10) ^ 2) = Farbe (Magenta) (49/100) # in den Faktor # (x ^ 2-7 / 5x) # Ich mach das # (x ^ 2-7 / 5 + Farbe (Magenta) ((- 7/10) ^ 2)) #

… aber denken Sie daran, dass dieser Faktor mit multipliziert wird #Farbe (grün) (5/4) #

um die Sache auszugleichen, müssen wir subtrahieren #Farbe (grün) (5/4) xx Farbe (Magenta) (49/100) = Farbe (braun) (49/80) #

Unsere Gleichung sieht jetzt so aus

#Farbe (weiß) ("XXX") y = Farbe (grün) (5/4) (x ^ 2-7 / 5 + Farbe (Magenta) ((- 7/10) ^ 2)) + 3 / 4- Farbe (braun) (49/80) #

Schreiben Sie dieses mit einem quadrierten Binom und vereinfachen Sie die konstanten Ausdrücke:

#Farbe (weiß) ("XXX") y = Farbe (grün) (5/4) (X-Farbe (rot) (7/10)) ^ 2 + Farbe (blau) (11/80) #

Dies ist unsere erforderliche Scheitelpunktform mit Scheitelpunkt an # (Farbe (rot) (7/10), Farbe (blau) (11/80)) #

Zur Verifikation ist hier ein Diagramm der ursprünglichen Gleichung:

Antworten:

# y = 5/4 (x-7/10) ^ 2 + 11/80 #

Erläuterung:

# "die Gleichung einer Parabel in" Farbe (blau) "Scheitelpunktform" # ist.

#Farbe (rot) (Balken (ul (| Farbe (weiß) (2/2) Farbe (schwarz) (y = a (x-h) ^ 2 + k) Farbe (weiß) (2/2) |)))

# "wo" (h, k) "sind die Koordinaten des Scheitelpunkts und ein" #

# "ist ein Multiplikator" #

# "um" 5x ^ 2-7x + 3 "in dieser Form auszudrücken" #

# "benutze die Methode" Farbe (blau) "um das Quadrat zu vervollständigen" #

# • "der Koeffizient des Ausdrucks" x ^ 2 "muss 1 sein" #

# rArr5 (x ^ 2-7 / 5x + 3/5) #

# • "addieren / subtrahieren" (1/2 "Koeffizient des X-Terms") ^ 2 "bis" #

# x ^ 2-7 / 5x #

# 5 (x ^ 2 + 2 (-7/10) xFarbe (rot) (+ 49/100) Farbe (rot) (- 49/100) +3/5) #

# = 5 (x-7/10) ^ 2 + 5 (-49 / 100 + 3/5) #

# = 5 (x-7/10) ^ 2 + 11/20 #

# rArr4y = 5 (x-7/10) ^ 2 + 11/20 #

# rArry = 1/4 5 (x-7/10) ^ 2 + 11/20 #

#color (weiß) (rArry) = 5/4 (x-7/10) ^ 2 + 11/80 #