Ein quadratisches Polynom mit folgenden Bedingungen erhalten? 1. die Summe der Nullen = 1/3, das Produkt der Nullen = 1/2

Antworten:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Erläuterung:

Die quadratische Formel lautet #x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Summe zweier Wurzeln:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - b / a #

# -b / a = 1/3 #

# b = -a / 3 #

Produkt aus zwei Wurzeln:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (-b-Quadrat (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4ac) / (4a ^ 2) = c / a #

# c / a = 1/2 #

# c = a / 2 #

Wir haben # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Beweis:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# x = (2-Quadrat ((- 2) - 2-4 (6 · 3))) / (2 · 6) = (2 + - Quadrat (4-72)) / 12 = (2 + - 2 Quadrat (17) i) / 12 = (1 + - Quadrat (17) i) / 6 #

# (1 + Quadrat (17) i) / 6 + (1 Quadrat (17) i) / 6 = 2/6 = 1/3 #

# (1 + Quadrat (17) i) / 6 * (1 Quadrat (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1/2 #

Antworten:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #

Erläuterung:

Wenn wir eine allgemeine quadratische Gleichung haben:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 iff x ^ 2 + b / ax + c / a = 0 #

Und wir bezeichnen die Wurzel der Gleichung mit #Alpha# und #Beta#Dann haben wir auch:

# (x-alpha) (x-beta) = 0 iff x ^ 2 - (alpha + beta) x + alpha beta = 0 #

Was uns die gut untersuchten Eigenschaften gibt:

# {: ("Summe der Wurzeln", = Alpha + Beta, = -b / a), ("Produkt der Wurzeln", = Alpha Beta, = c / a):} #

So haben wir:

# {: (alpha + beta, = -b / a, = 1/3), (alpha beta, = c / a, = 1/2):} #

Die gesuchte Gleichung lautet also:

# x ^ 2 - "(Summe der Wurzeln)" x + "(Produkt der Wurzeln)" = 0 #

d.h.:

# x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0 #

Um die gebrochenen Koeffizienten zu entfernen, multiplizieren wir (optional) mit #6# geben:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #