Wie lautet die Gleichung der Parabel mit einem Fokus bei (3, -8) und einer Directrix von y = -5?

Antworten:

Die Gleichung lautet # y = -1 / 6 (x-3) ^ 2-39 / 6 #

Erläuterung:

Irgendein Punkt # (x, y) # auf der parabel ist gleich weit von der directrix und vom fokus entfernt.

Deshalb, # (y + 5) = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y + 8) ^ 2) #

Beide Seiten quadrieren

# (y + 5) ^ 2 = (x-3) ^ 2 + (y + 8) ^ 2 #

# y ^ 2 + 10y + 25 = (x-3) ^ 2 + y ^ 2 + 16y + 64 #

# 6y = - (x-3) ^ 2-39 #

# y = -1 / 6 (x-3) ^ 2-39 / 6 #

Graph {(y + 1/6 (x-3) ^ 2 + 39/6) (y + 5) = 0 -28,86, 28,87, -14,43, 14,45}

Antworten:

Die Parabelgleichung lautet # y = -1 / 6 (x-3) ^ 2-6,5 #

Erläuterung:

Fokus ist um #(3,-8) #und directrix ist # y = -5 #. Scheitelpunkt ist auf halbem Weg

zwischen Fokus und Directrix. Daher ist Scheitelpunkt bei #(3,(-5-8)/2)#

oder bei #(3, -6.5)#. Die Scheitelpunktform der Parabelgleichung ist

# y = a (x-h) ^ 2 + k; (h, k) # Scheitelpunkt sein. # h = 3 und k = -6,5 #

Die Parabelgleichung lautet also # y = a (x-3) ^ 2-6.5 #. Entfernung von

Scheitelpunkt von Directrix ist # d = | 6.5-5 | = 1.5 #, wir wissen # d = 1 / (4 | a |) #

#:. 1,5 = 1 / (4 | a |) oder | a | = 1 / (1,5 * 4) = 1/6 #. Hier ist die Directrix oben

der Scheitelpunkt, also Parabel öffnet sich nach unten und #ein# ist negativ.

#:. a = -1 / 6 #. Daher lautet die Gleichung der Parabel

# y = -1 / 6 (x-3) ^ 2-6,5 #

Graph {-1/6 (x-3) ^ 2-6,5 -40, 40, -20, 20}