Antworten:
Keine Lösungen in # RR #.
Erläuterung:
Lassen Sie uns zunächst etwas vereinfachen:
Wie # e ^ x # und #ln (x) # sind inverse Funktionen, # e ^ ln (x) = x # hält so gut wie #ln (e ^ x) = x #. Dies bedeutet, dass Sie Ihren dritten logarithmischen Begriff vereinfachen können:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Ihr nächstes Ziel ist es, alles mitzubringen #Log# Funktionen auf der gleichen Basis, so dass Sie die Möglichkeit haben, Logarithmusregeln auf sie anzuwenden und sie zu vereinfachen.
Sie können die Logarithmusbasis wie folgt ändern:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Verwenden Sie diese Regel, um die Basis zu ändern #8# von # log_8 # und die Basis #32# von # log_32 # zur Basis #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Jetzt können wir rechnen # log_2 (8) = 3 # und # log_2 (32) = 5 #
(falls es nicht klar ist, lassen Sie mich es einfach brechen, nur um sicher zu sein: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Dies führt uns zu der folgenden, einfacheren logarithmischen Gleichung:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… beide Seiten mit multiplizieren #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Jetzt können wir die Logarithmusregeln verwenden:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # und #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Das Ziel ist, nur einen zu haben #Log# Begriff auf der linken Seite. Machen wir das.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
An diesem Punkt können wir die loswerden # log_2 (a) # durch Anwenden der Umkehrfunktion # 2 ^ a # zu beiden Seiten der Gleichung.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Leider muss ich zugeben, dass ich in diesem Moment festgefahren bin, da ich nicht weiß, wie ich diese Gleichung lösen kann.
Jedoch plotten #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # sagt mir, dass diese Gleichung keine Lösung hat # RR #.
Graph {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9,63, 10,37, -4,88, 5,12}
Ich hoffe das hat ein bisschen geholfen!
