Was sind die absoluten Extrema von f (x) = x - e ^ x in [1, In8]?

Antworten:

Es gibt ein absolutes Maximum von #-1.718# beim # x = 1 # und ein absolutes Minimum von #-5.921# beim # x = ln8 #.

Erläuterung:

Bestimmen absolute extreme In einem Intervall müssen wir die kritischen Werte der Funktion ermitteln, die innerhalb des Intervalls liegen. Dann müssen wir sowohl die Endpunkte des Intervalls als auch die kritischen Werte testen. An diesen Stellen können kritische Werte auftreten.

Kritische Werte finden:

Die kritischen Werte von #f (x) # wann immer #f '(x) = 0 #. Daher müssen wir die Ableitung von finden #f (x) #.

Ob:# "" "" "" "" "" f (x) = x-e ^ x #

Dann: # "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x #

Die kritischen Werte treten also auf, wenn: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

Was bedeutet das:# "" "" "" "" "" "" "" "e ^ x = 1 #

So:"" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "x = ln1 = 0 #

Der einzige kritische Wert der Funktion liegt bei # x = 0 #, welches ist nicht im angegebenen Intervall # 1, ln8 #. Somit liegen die einzigen Werte bei, bei denen die absoluten Extrema auftreten könnten # x = 1 # und # x = ln8 #.

Mögliche Werte testen:

Einfach finden #f (1) # und #f (ln8) #. Je kleiner das absolute Minimum der Funktion und desto größer das absolute Maximum.

#f (1) = 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1.718 #

#f (ln8) = ln8-e ^ ln8 = ln8-8approx-5.921 #

Somit gibt es ein absolutes Maximum von #-1.718# beim # x = 1 # und ein absolutes Minimum von #-5.921# beim # x = ln8 #.

Dargestellt ist die ursprüngliche Funktion des angegebenen Intervalls:

Graph {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

Da es keine kritischen Werte gibt, nimmt die Funktion über das gesamte Intervall ab. Schon seit # x = 1 # Ist der Beginn des ständig abnehmenden Intervalls, wird es den höchsten Wert haben. Die gleiche Logik gilt für # x = ln8 #, da es am weitesten vom Intervall entfernt ist und am niedrigsten ist.