Wie ist die Steigung der Tangente von r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) bei theta = (pi) / 4?

Antworten:

Die Steigung ist #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Erläuterung:

Hier ist ein Hinweis auf Tangenten mit Polarkoordinaten

Aus der Referenz erhalten wir folgende Gleichung:

# dy / dx = ((dr) / (theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Wir müssen berechnen # (dr) / (d theta) # aber bitte beachte das #r (Theta) # kann durch die Verwendung der Identität vereinfacht werden #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (Theta) / Theta #

# (dr) / (d theta) = (g (theta) / (h (theta))) '= (g' (theta) h (theta) - h '(theta) g (theta)) / (h (Theta)) ^ 2 #

#g (Theta) = -tan ^ 2 (Theta) #

#g '(Theta) = -2tan (Theta) sec ^ 2 (Theta) #

#h (Theta) = Theta #

#h '(Theta) = 1 #

# (dr) / (d theta) = (-2-thetatan (theta) sek ^ 2 (theta) + tan ^ 2 (theta)) / (theta) ^ 2 #

Lassen Sie uns das oben unter bewerten # pi / 4 #

# sec ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16-16 pi) / (pi ^ 2) #

Bewerten Sie r bei # pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Hinweis: Ich habe den obigen Nenner gemacht # pi ^ 2 # so dass es mit dem Nenner von # r '# und würde daher abbrechen, wenn wir sie in die folgende Gleichung setzen:

# dy / dx = ((dr) / (theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Beim # pi / 4 # Die Sinus- und Cosinus-Werte sind gleich und werden daher abgebrochen.

Wir sind bereit, eine Gleichung für die Steigung zu schreiben, m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #