Wie viele Zahlen sind zwischen 1 und 99999, deren Summe sich aus 9 ergibt? Ich brauche die Methode.

Antworten:

#715#

Erläuterung:

# "Mathematisch suchen wir nach a, b, c, d, e, so dass" #

# "a + b + c + d + e = 9. a, b, c, d, e sind positive ganze Zahlen." #

# "Dies ist ein Problem mit Sternen und Bars. Wir haben 9 Sterne (die Summe" #

# "der Ziffern) und müssen in 5 Gruppen unterteilt werden." #

# "Die Anzahl der Kombinationen dafür ist C (9 + 4,4) = C (13,4)," #

#"mit"#

#C (n, k) = (n!) / ((N-k)! K!) #

# "Hier haben wir" #

#C (13,4) = (13!) / ((9!) (4!)) = 715 #

#"Möglichkeiten."#

Antworten:

#715#

Erläuterung:

Angenommen, Sie haben #5# Boxen und #9# identische Objekte, die zwischen ihnen verteilt werden sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Schreiben # "" ^ n D_k # für die Anzahl der Vertriebswege # n # identische Objekte zwischen # k # Boxen haben wir:

• # "" ^ 0 D_k = 1 #

• # "" ^ 1 D_k = k #

• # "" ^ n D_1 = 1 #

• # "" ^ n D_2 = "" ^ n D_1 + "" ^ (n-1) D_1 + … + "" ^ 0 D_1 = n + 1 #

• # "" ^ n D_3 = "" ^ D_2 + "" (n-1) D_2 + … + "" ^ 0 D_2 #

  # = (n + 1) + ((n - 1) + 1) + … + (1 + 1) + (0 + 1) = 1/2 (n + 1) (n + 2) #

• # "" ^ n D_4 = "" ^ D_3 + "" (n-1) D_3 + … + "" ^ 0 D_3 #

  # = 1/2 (n + 1) (n + 2) + 1/2 ((n-1) + 1) ((n-1) +2) + … + 1/2 (0 + 1) (0 + 2) #

# = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) #

• # "" ^ n D_5 = "" ^ D_4 + "" (n-1) D_4 + … + "" ^ 0 D_4 #

  # = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) +1/6 ((n-1) +1) ((n-1) + 2) ((n-1) +3)) + … + 1/6 (0 + 1) (0 + 2) (0 + 3) #

# = 1/24 (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) #

So:

# 9 D_5 = 1/24 (9 + 1) (9 + 2) (9 + 3) (9 + 4) = 715 #