Antworten:
Somit ist die Gleichung der Norm gegeben durch
# y = 3 / 2xsqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
Erläuterung:
Gegeben
# y = 2xsqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
An jedem Punkt des Diagramms hat die Normale eine Neigung senkrecht zur Neigung der Tangente an dem durch die erste Ableitung der Funktion gegebenen Punkt.
# (dy) / dx = 2xxx1 / (2sqrt (x ^ 2 + 8)) xx2x + 0 = (2x ^ 2) / sqrt (x ^ 2 + 8) #
Hang der Tangente # m = (2x ^ 2) / sqrt (x ^ 2 + 8) #
Somit hat die Normale Steigung gleich dem negativen Kehrwert
Steigung des Normalen #m '= (- sqrt (x ^ 2 + 8)) / 2 #
Der Schnitt durch die Gerade auf der y-Achse wird durch gegeben
# c = y-mx = y - ((- sqrt (x ^ 2 + 8)) / 2x) #
Ersetzen für # y # und vereinfachend
# c = (2xsqrt (x ^ 2 + 8) +2) + (xsqrt (x ^ 2 + 8)) / 2 #
# = (2x + x / 2) sqrt (x ^ 2 + 8) + 2 = (5x) / 2sqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
# c = (5x) / 2sqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
Die Gleichung einer geraden Linie mit der Steigung m und dem Schnittpunkt c ist gegeben durch
# y = mx + c #
#y = (- sqrt (x ^ 2 + 8)) / 2x + (5x) / 2sqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
# = (- 1 + 5/2) xsqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
# = 3 / 2xsqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
Die Gleichung der Normalen ist also gegeben durch
# y = 3 / 2xsqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
