Was sind die absoluten Extrema von f (x) = sin2x + cos2x in [0, pi / 4]?

Antworten:

Absolute max: #x = pi / 8 #

Absolute min. ist an den Endpunkten: #x = 0, x = pi / 4 #

Erläuterung:

Suchen Sie die erste Ableitung mithilfe der Kettenregel:

Lassen #u = 2x; u '= 2 #, so #y = sinu + cos u #

#y '= (cosu) u' - (sinu) u '= 2cos2x - 2sin2x #

Finden Sie kritische Zahlen durch Einstellen #y '= 0 # und Faktor:

# 2 (cos2x-sin2x) = 0 #

Wann tut #cosu = sinu #? wann #u = 45 ^ @ = pi / 4 #

so #x = u / 2 = pi / 8 #

Finde die 2. Ableitung: #y '' = -4sin2x-4cos2x #

Überprüfen Sie, ob Sie ein Maximum an haben # pi / 8 # mit dem 2. Ableitungstest:

#y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0 #, deshalb # pi / 8 # ist das absolute Maximum im Intervall.

Überprüfen Sie die Endpunkte:

#y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 # Mindestwerte

Aus der Grafik:

Graph {sin (2x) + cos (2x) -.1,.78539816, -.5, 1.54}

Antworten:

# 0 und sqrt2 #. Siehe den illustrativen sokratischen Graphen.

Erläuterung:

Graph(Benutzen # | sin (Theta) | in 0, 1 #.

# | f | = | sin2x + cos2x | #

# sqrt2 | sin2x cos (pi / 4) + cosx sin (pi / 4) | #

# = sqrt2 | sin (2x + pi / 4) | in 0, sqrt 2 #.