Wie lauten die Koordinaten des Bildes des Punktes (–3, 6) nach einer Erweiterung mit einem Mittelpunkt von (0, 0) und einem Skalierungsfaktor von 1/3?

Antworten:

Multiplizieren Sie den Skalierungsfaktor #1/3#in die Koordinaten #(-3, 6)#, um die Koordinaten des Bildpunkts zu erhalten, #(-1, 2)#.

Erläuterung:

Die Idee der Dilatation, Skalierung oder "Größenänderung" besteht darin, etwas größer oder kleiner zu machen. Wenn Sie dies jedoch zu einer Form machen, müssten Sie jede Koordinate irgendwie "skalieren".

Eine andere Sache ist, dass wir nicht sicher sind, wie sich das Objekt "bewegen" würde. Beim Skalieren, um etwas größer zu machen, wird die Fläche / das Volumen größer, aber das würde bedeuten, dass die Abstände zwischen Punkten länger werden sollten. Welcher Punkt geht wo? Eine ähnliche Frage stellt sich beim Skalieren, um die Größe zu verringern.

Eine Antwort darauf wäre ein "Dilatationszentrum", bei dem alle Längen so transformiert werden, dass ihre neuen Entfernungen von diesem Zentrum proportional zu ihren alten Entfernungen von diesem Zentrum werden.

Glücklicherweise zentriert sich die Dilatation auf den Ursprung #(0, 0)# Das macht es einfacher: Wir multiplizieren den Skalierungsfaktor einfach mit dem # x # und # y #-Koordinaten, um die Bildpunktkoordinaten zu erhalten.

#1/3 * (-3, 6) = (1/3 * -3, 1/3 * 6) = ((-3)/(3), (6)/(3)) = (-1, 2)#

Auf diese Weise sollte es sich, wenn es größer wird, vom Ursprung entfernen, und wenn es kleiner wird (wie hier der Fall), sollte es sich dem Ursprung nähern.

Interessante Tatsache: Eine Möglichkeit, etwas zu erweitern, wenn sich das Zentrum nicht am Ursprung befindet, besteht darin, die Koordinaten irgendwie zu subtrahieren, um das Zentrum am Ursprung zu bilden, und diese dann nach der Erweiterung wieder hinzuzufügen. Dasselbe kann für die Rotation gemacht werden. Clever, richtig?