Frage # 92256

Antworten:

Siehe Erklärung

Erläuterung:

Teilen Sie dies in zwei Teile auf, erstens den inneren Teil:

# e ^ x #

Dies ist positiv und nimmt für alle reellen Zahlen zu und geht von 0 bis # oo # wie # x # geht von # -oo # zu # oo #

Wir haben:

#arctan (u) #

Der hat eine rechte horizontale Asymptote bei # y = pi / 2 #. Gehen von # u = 0 rarr oo #, beim # u = 0 # Diese Funktion ist positiv und nimmt in diesem Bereich zu, nimmt den Wert 0 an # u = 0 #ein Wert von # pi / 4 # beim # u = 1 # und einen Wert von # pi / 2 # beim # u = oo #.

Diese Punkte werden daher angezogen # x = -oo, 0, oo # und am Ende sehen wir als Ergebnis ein Diagramm:

graph {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Welches ist der positive Teil des # arctan # Funktion erstreckt sich über die gesamte reelle Linie, wobei der linke Wert in eine horizontale Asymptote bei gedehnt wird # y = 0 #.

Antworten:

Siehe Erklärung

Erläuterung:

Domain ist # RR #

Symmetrie

Weder in Bezug auf die # x # Achse noch w.r.t der Ursprung.

#arctan (e ^ (- x)) # vereinfacht nicht zu #arctan (e ^ x) #

noch zu # -arctan (e ^ x) #

Abfangen

# x # fängt ab: keine

Wir können nicht bekommen #y = 0 # weil das erfordern würde # e ^ x = 0 #

Aber # e ^ x # ist niemals #0#Es nähert sich nur #0# wie # xrarr-oo #.

So, # yrarr0 # wie # xrarr-oo # und das # x # Achse os horizontal

Asymptote auf der linken Seite.

# y # abfangen: # pi / 4 #

Wann # x = 0 #, wir bekommen #y = arctan (1) = pi / 4 #

Asymptoten:

Vertikal: keine

# arctan # ist zwischen # -pi / 2 # und # pi / 2 # per definitionem geht es also nie zu # oo #

Horizontal:

Links: # y = 0 # wie oben besprochen

Recht: # y = pi / 2 #

Wir wissen das als # thetararrpi / 2 # mit #theta <pi / 2 #, wir bekommen #tantheta rarr oo #

so wie # xrarroo #, wir bekommen # e ^ x rarroo #, so # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Erste Ableitung

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # ist niemals #0# und nie undefiniert, daher gibt es keine kritischen Zahlen.

Für jeden # x # wir haben #y '> 0 # die Funktion nimmt also weiter zu # (- oo, oo) #

Es gibt keine lokalen Extreme.

Zweite Ableitung

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # ist nie undefiniert und ist es auch #0# beim # x = 0 #

Zeichen von #y '' #:

Auf # (- oo, 0) #, wir bekommen # e ^ (2x) <1 # so #y ''> 0 # und der Graph ist konkav

Auf # (0, oo) #, wir bekommen # e ^ (2x)> 1 # so #y '' <0 # und der Graph ist konkav nach unten

Die Konkavität ändert sich um # x = 0 #also der Wendepunkt ist:

# (0, pi / 4) #

Skizzieren Sie jetzt die Grafik