Beweisen Sie, dass die Zahl sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) für keine natürliche Zahl n größer als 1 ist.

Antworten:

Siehe Erklärung …

Erläuterung:

Annehmen:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # ist rational

Dann muss sein Quadrat rational sein, d.h.

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

und daher ist es so:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Wir können wiederholt quadrieren und subtrahieren, um festzustellen, dass Folgendes rational sein muss:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Daher # n = k ^ 2 # für eine positive ganze Zahl #k> 1 # und:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Beachten Sie, dass:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Daher # k ^ 2 + k-1 # ist auch nicht das Quadrat einer ganzen Zahl und #sqrt (k ^ 2 + k-1) # ist irrational und widerspricht unserer Behauptung, dass #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # ist rational.

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Angenommen, #sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # mit # p / q # nicht reduzierbar wir haben

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

Das ist absurd, weil demnach jede Quadratwurzel einer positiven Ganzzahl rational ist.

Die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist 77. Die Differenz zwischen der Hälfte der kleineren und einem Drittel der größeren Zahl ist 6. Wenn x die kleinere Zahl ist und y die größere Zahl ist, stellen die beiden Gleichungen die Summe und die Differenz dar die Zahlen?

X + y = 77 1 / 2x-1 / 3y = 6 Wenn Sie die Zahlen wissen wollen, lesen Sie weiter: x = 38 y = 39

Die natürliche Zahl wird nur mit 0, 3, 7 geschrieben. Beweisen Sie, dass es kein perfektes Quadrat gibt. Wie beweise ich diese Aussage?

Die Antwort: Alle perfekten Quadrate enden auf 1, 4, 5, 6, 9, 00 (oder 0000, 000000 usw.) Eine Zahl, die in 2 endet, Farbe (Rot) 3, Farbe (Rot) 7, 8 und nur Farbe (rot) 0 ist kein perfektes Quadrat. Wenn die natürliche Zahl aus diesen drei Ziffern (0, 3, 7) besteht, ist es unvermeidlich, dass die Zahl in einer von ihnen endet. Es war so, dass diese natürliche Zahl kein perfektes Quadrat sein kann.

Beweisen Sie, dass wenn u eine ungerade ganze Zahl ist, dann hat die Gleichung x ^ 2 + x -u = 0 keine Lösung, die eine ganze Zahl ist.

Hinweis 1: Angenommen, die Gleichung x ^ 2 + x-u = 0 mit einer ganzen Zahl hat eine ganzzahlige Lösung n. Zeigen Sie, dass Sie gerade sind. Wenn n eine Lösung ist, gibt es eine ganze Zahl m, so dass x ^ 2 + xu = (xn) (x + m) ist, wobei nm = u und mn = 1 ist. Die zweite Gleichung hat jedoch die Folge, dass m = n + 1 ist. Nun sind beide m und n sind ganze Zahlen, also ist eine von n, n + 1 gerade und nm = u ist gerade.