Löse in RR die Gleichung sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Antworten:

#x in 5, 10 #

Erläuterung:

Lassen # u = x-1 #. Wir können dann die linke Seite der Gleichung als neu schreiben

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Beachten Sie die Anwesenheit von #sqrt (u) # in der Gleichung und dass wir nur nach realen Werten suchen, so haben wir die Einschränkung #u> = 0 #. Damit werden wir nun alle verbleibenden Fälle betrachten:

Fall 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-Quadratmeter (u) + 3-Quadratmeter (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Somit # u = 4 # ist die einzige Lösung im Intervall #0, 4#

Fall 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Da dies eine Tautologie ist, ist jeder Wert in #4, 9# ist eine Lösung.

Fall 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Somit #u = 9 # ist die einzige Lösung im Intervall # 9, oo) #

Zusammen genommen haben wir #4, 9# als Lösung für reale Werte von # u #. Einsetzen in #x = u + 1 #Wir kommen zum endgültigen Lösungssatz #x in 5, 10 #

Wenn Sie die Grafik auf der linken Seite betrachten, stimmt dies mit dem überein, was wir erwarten würden:

Sei P (x_1, y_1) ein Punkt und sei l die Linie mit Gleichung ax + durch + c = 0.Die Entfernung d von P-> l ist gegeben durch: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes P (6,7) von der Linie l mit der Gleichung 3x + 4y = 11?

D = 7 Sei l-> a x + b y + c = 0 und p_1 = (x_1, y_1) ein Punkt, der nicht auf l liegt. Angenommen, b ne 0 und der Aufruf von d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2, nachdem y = - (a x + c) / b in d ^ 2 eingesetzt wurde, haben wir d ^ 2 = ( x - x_1) ^ 2 + ((c + ax) / b + y_1) ^ 2. Der nächste Schritt ist das d ^ 2-Minimum in Bezug auf x zu finden, sodass wir x so finden werden, dass d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2a ((c + ax)) / b + y_1 ist )) / b = 0. Dies tritt für x = (b ^ 2 x_1 - ab y_1-ac) / (a ^ 2 + b ^ 2) auf. Nun, indem wir diesen Wert in d ^ 2 einsetzen, erhalten wir d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a

Was ist die Eigenschaft reeller Zahlen, die durch die Gleichung veranschaulicht werden: 2sqrt (7) * sqrt (3) = 2 (sqrt7 * sqrt (3))?

Assoziativität der Multiplikation Die Multiplikation reeller Zahlen ist assoziativ. Das heißt: (ab) c = a (bc) für beliebige reelle Zahlen a, b und c (weiß) () Fußnoten Die Multiplikation komplexer Zahlen ist ebenso assoziativ wie die Multiplikation von Quaternionen. Sie müssen einige wirklich merkwürdige Zahlen wie Octonions aufsuchen, bevor die Multiplikation nicht assoziativ ist.

Löse das folgende System der Gleichung: [((1), sqrt (2) x + sqrt (3) y = 0), ((2), x + y = sqrt (3) -sqrt (2))]?

{(x = (3sqrt (2) -2sqrt (3)) / (sqrt (6) -2)), (y = (sqrt (6) -2) / (sqrt (2) -sqrt (3))) :} Von (1) haben wir sqrt (2) x + sqrt (3) y = 0 Wenn wir beide Seiten durch sqrt (2) teilen, erhalten wir x + sqrt (3) / sqrt (2) y = 0 "(*)" Wenn wir "(*)" von (2) subtrahieren, erhalten wir x + y- (x + sqrt (3) / sqrt (2) y) = sqrt (3) -sqrt (2) - 0 => (1-sqrt) (3) / sqrt (2)) y = sqrt (3) - sqrt (2) => y = (sqrt (3) - sqrt (2)) / (1 sqrt (3) / sqrt (2)) = (sqrt (6) -2) / (sqrt (2) -sqrt (3)) Wenn wir den gefundenen Wert für y wieder in "(*)" einsetzen, erhalten wir x + sqrt (3) / sqrt (2) *