Wie lautet die Gleichung der Parabel mit einem Fokus bei (5,3) und einer Directrix von y = -12?

Antworten:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Erläuterung:

Die Definition einer Parabel besagt, dass alle Punkte auf der Parabel immer den gleichen Abstand zum Fokus und zur Directrix haben.

Wir können es lassen # P = (x, y) #, die einen allgemeinen Punkt auf der Parabel darstellen, können wir lassen # F = (5,3) # repräsentieren den Fokus und # D = (x, -12) # repräsentieren den nächstgelegenen Punkt auf der Directrix # x # liegt daran, dass der nächste Punkt auf der Directrix immer gerade ist.

Wir können jetzt eine Gleichung mit diesen Punkten aufstellen. Wir werden die Entfernungsformel verwenden, um die Entfernungen zu ermitteln:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Wir können dies auf unsere Punkte anwenden, um zuerst die Entfernung zwischen ihnen zu ermitteln # P # und # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Dann werden wir die Entfernung zwischen berechnen # P # und # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Da diese Abstände gleich sein müssen, können wir sie in eine Gleichung setzen:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Seit dem Punkt # P # ist in allgemeiner Form und kann jeden Punkt auf der Parabel darstellen, wenn wir nur lösen können # y # In der Gleichung bleibt uns eine Gleichung übrig, die uns alle Punkte auf der Parabel geben wird, oder anders ausgedrückt, es wird die Gleichung der Parabel sein.

Zuerst werden wir beide Seiten quadratisch machen:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Wir können dann erweitern:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Wenn wir alles auf die linke Seite legen und nach Begriffen sammeln, erhalten wir:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Das ist die Gleichung unserer Parabel.