Schreibe die Gleichung in ein gedrehtes x'y'-System ohne einen x'y'-Ausdruck. Kann ich etwas Hilfe bekommen? Vielen Dank!

Antworten:

Die zweite Auswahl:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Erläuterung:

Die gegebene Gleichung

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

ist in der allgemeinen kartesischen Form für einen konischen Abschnitt:

# Axt ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

woher #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 und F = -144 #

Die Referenzdrehung der Achsen gibt uns Gleichungen, die es uns ermöglichen, einen konischen Abschnitt um einen bestimmten Winkel zu drehen. # theta #. Außerdem gibt es uns eine Gleichung, die es uns erlaubt, den Koeffizienten von zu erzwingen # xy # 0 werden.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Ersetzen der Werte aus Gleichung 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Vereinfachen:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Verwenden Sie Gleichung (9.4.4b), um zu überprüfen, ob eine neue Rotation den Koeffizienten von verursacht # xy # Begriff ist 0:

#B '= (A-C) sin (2 theta) + B cos (2 theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # verifiziert

Verwenden Sie zur Berechnung die Gleichung (9.4.4a) #EIN'#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2 theta) - B / 2 sin (2 theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Verwenden Sie zur Berechnung die Gleichung (9.4.4c) # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (CA) / 2 cos (2 theta) + B / 2 sin (2 theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Verwenden Sie zur Berechnung die Gleichung (9.4.4f) # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Nun können wir das nicht rotierte Formular schreiben:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Beide Seiten durch 144 teilen:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Addiere 1 zu beiden Seiten:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Antworten:

Option B

Erläuterung:

Wir können die Gleichung in Matrixform schreiben und dann auf ihre Hauptachse drehen.

Lassen:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

Und so in Matrixform:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

Achsen drehen # bbx # durch # theta #:

#bb x ^ '= R (Theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Transponieren #bb x ^ '= Rbb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (Rbbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, da R orthogonal ist

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Setzen Sie diese letzten 2 Ergebnisse in #Quadrat#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW wenn R ist die Matrix, die diagonalisiert M Dann haben wir die Gleichung in Bezug auf ihre Hauptachsen für die diagonale Eigenvektormatrix D, dh:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M 's Eigenwerte sind 36 und 16, so dass es als diagonalisiert werden kann:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #