Was ist f (x) = int ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx, wenn f (pi / 6) = 1 ist?

Antworten:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1) / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Erläuterung:

Wir beginnen mit der Aufteilung des Integrals in drei Teile:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Ich werde das linke Integral 1 und das rechte Integral 2 nennen

Integral 1

Hier brauchen wir die Integration durch Teile und einen kleinen Trick. Die Formel für die Integration nach Teilen lautet:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

In diesem Fall werde ich es lassen #f (x) = e ^ x # und #g '(x) = cos (x) #. Wir bekommen das

#f '(x) = e ^ x # und #g (x) = sin (x) #.

Dies macht unser integrales:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Jetzt können wir die Integration von Teilen erneut anwenden, diesmal jedoch mit #g '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Jetzt können wir das Integral auf beiden Seiten hinzufügen und geben:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Wir können zuerst die Identität verwenden:

#tan (Theta) = sin (Theta) / cos (Theta) #

Das gibt:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Jetzt können wir die pythagoräische Identität verwenden:

# sin ^ 2 (Theta) = 1-cos ^ 2 (Theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Jetzt können wir eine U-Substitution mit einführen # u = cos (x) #. Wir teilen uns dann durch die Ableitung, # -sin (x) # in Bezug auf integrieren # u #:

# -int (aufheben (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (aufheben (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^) 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Vervollständigung des ursprünglichen Integrals

Nun, da wir Integral 1 und Integral 2 kennen, können wir sie wieder in das ursprüngliche Integral integrieren und vereinfachen, um die endgültige Antwort zu erhalten:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Nun, da wir das Gegenmittel kennen, können wir die Konstante lösen:

#f (pi / 6) = 1 #

(ei (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2 / 3-Quadrat (3) / 2 + 1/2 (1/2) (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (Quadrat (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Dies gibt an, dass unsere Funktion ist:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1) / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #