Es ist bekannt, dass die Gleichung bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 eine reelle Wurzel hat. Beweisen Sie, dass die Gleichung x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 keine reellen Wurzeln hat.

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Die Wurzeln für # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # sind

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Die Wurzeln werden zufällig und real sein, wenn

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

oder

# a = b # oder #a = 5b #

Jetzt lösen

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # wir haben

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Die Voraussetzung für komplexe Wurzeln ist

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

jetzt machen #a = b # oder #a = 5b # wir haben

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Abschließend, wenn # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # hat dann echte echte Wurzeln # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # wird komplexe Wurzeln haben.

Wir haben die Gleichung gegeben:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

hat eine echte Wurzel, daher ist die Diskriminante dieser Gleichung Null:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, oder # a = 5b #

Wir versuchen die Gleichung zu zeigen:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

hat keine echten Wurzeln. Dies würde eine negative Diskriminanz erfordern. Die Diskriminante für diese Gleichung ist:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Nun betrachten wir die zwei möglichen Fälle, die die erste Gleichung erfüllen:

Fall 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Fall 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Daher sind die Bedingungen der ersten Gleichung so, dass die zweite Gleichung immer eine negative Diskriminante und daher komplexe Wurzeln (dh keine realen Wurzeln), QED, aufweist