Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Könnten Sie das lösen?

Antworten:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Erläuterung:

Wir haben:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx - 2 (1-cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx-2 (cosx-cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx-2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

Lassen #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Wir sehen das #u = -1 # ist ein Faktor. Mit synthetischer Teilung erhalten wir

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Die gleichung # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # kann mit der quadratischen Formel gelöst werden.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - Quadrat (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 oder -0.309 #

Schon seit #cosx = u #, wir bekommen #x = pi / 5, (3pi) / 5 # und #Pi#.

Woher # n # ist eine ganze Zahl.

Der Graph von # y_1 = sin ^ 4x-cos ^ 4x # und # y_2 = cos (3x) # bestätigt, dass die Lösungen die Schnittpunkte sind.

Hoffentlich hilft das!

Antworten:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Erläuterung:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, oder

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Einheitskreis und Eigenschaft von cos, geben ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

ein. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Wenn k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Wenn k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Wenn k = 0 -> #x = - pi / 5 #, oder #x = (9pi) / 5 # (Co-terminal)

Wenn k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

In dem geschlossenen Intervall 0, 2pi lauten die Antworten:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Überprüfen Sie mit dem Rechner.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = - 0.428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0,119 - 0,428 = - 309 #. Bewiesen

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = 0.428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Bewiesen

Antworten:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

Erläuterung:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Entweder #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi # # nrarr #

Antworten:

Die allgemeine Lösung erfordert nicht die Dreifachwinkelformel und ist

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # oder # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

für eine ganze Zahl # k #.

Erläuterung:

Ich lese nicht gerne die Antworten anderer Personen, bevor ich selbst eine Frage löse. Aber eine bemerkenswerte Antwort für diese Frage ist aufgetaucht. Bei meinem kurzen Blick fiel mir nicht auf, dass es ziemlich kompliziert aussah, was für mich nach einer relativ einfachen Frage aussieht. Ich versuche es mal.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Ich bin seit ein paar Wochen auf Sokratisch, und dies ist mein Thema: Die allgemeine Lösung für #cos x = cos a # ist #x = pm a + 360 ^ circ k quad # für eine ganze Zahl # k. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Wir nehmen die Schilder getrennt. Plus zuerst:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Minus als nächstes.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Wenn Sie diese Informationen genau lesen, denken Sie vielleicht, ich mache einen Fehler in der Art, wie ich manipuliere # k #. Aber seit # k # reicht über alle ganzen Zahlen, Ersetzungen wie #k bis -k # und #k bis k + 1 # sind erlaubt und ich schlüpfe in die Schilder #+# wann können sie sein

Prüfen:

Lass uns ein paar auswählen, um es zu überprüfen. Ich bin geeky genug um es zu wissen #cos 36 ^ circ # ist die Hälfte des Goldenen Schnittes, aber ich werde das nicht genau herausfinden, sondern nur in Wolfram Alpha.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 Quadrate #